¿Por qué subimos y bajamos índices de tensores de varios grupos con las invariantes de ese grupo?

Vamos a dividir esto en partes. Es casi seguro que esto es excesivo, pero espero que quede claro y puedas omitir las partes que no necesitas.

Un tensor de rango-(0,2)$\mathbf{T}$es un mapa multilineal que toma dos vectores y devuelve un número real (o complejo). Si lo escribimos por componentes, escribimos sus índices.

Si nuestro espacio vectorial está equipado con un tensor métrico de rango (0,2) simétrico y no degenerado$\mathbf{g}$, entonces podemos definir un producto interno entre dos vectores$\mathbf{X}$y$\mathbf{Y}$como sigue:

$$\langle \mathbf{X},\mathbf{Y}\rangle = \mathbf{g}(\mathbf{X,Y})=\mathbf{g}(X^\alpha e_\alpha ,Y^\beta e_\beta) =X^\alpha Y^\beta \mathbf{g}(e_\alpha,e_\beta) \equiv X^\alpha Y^\beta g_{\alpha \beta}$$

(así es como extraemos los componentes de un tensor, dejándolo operar sobre la base del espacio vectorial)

Dado un espacio vectorial, podemos definir un espacio vectorial dual de la misma dimensión cuyos elementos se denominan vectores duales o covectores. Si la base del espacio vectorial está dada por$\{e_\alpha \}$, entonces la base canónica del espacio covectorial viene dada por$\{\epsilon^\alpha\}$y se define por el hecho de que las bases covectoriales actúan sobre la base vectorial así:

$$\epsilon^\alpha (e_{\beta}) =\delta^\alpha_\beta \equiv \cases{1 & $\alpha = \beta$ \\ 0 & $\alpha \neq \beta$}$$

Entonces un covector$\mathbf{\omega}$puede actuar sobre un vector$\mathbf{X}$como esto:

$$\mathbf{\omega(X)} = \omega_\alpha \epsilon^\alpha\left(X^\beta e_\beta\right)= \omega_\alpha X^\beta \epsilon^\alpha(e_\beta) = \omega_\alpha X^\beta \delta^\alpha_\beta = \omega_\alpha X^\alpha$$

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Usando la métrica, podemos definir un isomorfismo entre un espacio vectorial y el espacio covectorial, que mapea un vector$\mathbf{X}$a un covector$\mathbf{\tilde X}$que actúa sobre un vector$\mathbf{Y}$de la siguiente manera:

$$\mathbf{\tilde X(Y)} = \mathbf{g}\left(\mathbf{X,Y}\right)$$ o en forma de componente, $$\mathbf{\tilde X(Y)} = \tilde X_\alpha \epsilon^\alpha (Y^\beta e_\beta) = \tilde X_\alpha Y^\alpha = g_{\alpha \beta} X^\beta Y^\alpha$$ entonces $$\tilde X_\alpha = g_{\alpha \beta} X^\beta$$

Obviamente$\mathbf{\tilde X}$y$\mathbf{X}$son objetos completamente diferentes y habitan espacios completamente diferentes, pero tienen una correspondencia uno a uno, por lo que la gente tiende a pensar en ellos como "versiones" diferentes de lo mismo. Es en este sentido que hablamos de "subir" y "bajar" los índices.

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El isomorfismo antes mencionado también se puede aplicar a los tensores. Primero podemos definir una "métrica inversa"$\mathbf{\tilde g}$que es un tensor de rango simétrico-(2,0), y que actúa sobre vectores duales respetando el isomorfismo de la siguiente manera:

$$\mathbf{\tilde g(\tilde X,\tilde Y)} = \mathbf{g(X,Y)}$$

No es difícil ver cómo se define esto por componentes:

$$\mathbf{\tilde g}(\tilde X_\alpha \epsilon^\alpha,\tilde Y_\beta \epsilon^\beta) = \tilde X_\alpha \tilde Y_\beta \tilde g^{\alpha \beta} = g_{\alpha \rho} X^\rho g_{\beta \sigma} Y^\sigma \tilde g^{\alpha \beta} = X^\rho Y^\sigma g_{\rho \sigma}$$ entonces $$\tilde g^{\alpha \beta} g_{\alpha \rho} g_{\beta \sigma} = g_{\rho \sigma}$$ lo que implica que $$\tilde g^{\alpha \beta} g_{\alpha \rho} = \delta^{\beta}_\rho$$

A partir de ahí, podemos definir un isomorfismo general entre tensores como este:

$$\mathbf{\tilde T(\tilde X,\tilde Y)}= \mathbf{\tilde T}(\tilde X_\alpha \epsilon^\alpha,\tilde Y_\beta \epsilon^\beta)=\tilde X_\alpha \tilde Y_\beta \tilde T^{\alpha \beta}$$ que exigimos ser iguales a $$\mathbf{T(X,Y)} = \mathbf{T}(X^\alpha e_\alpha,Y^\beta e_\beta) = X^\alpha Y^\beta T_{\alpha \beta}$$

comparando los dos, está claro que

$$\tilde T^{\alpha \beta} = \tilde g^{\alpha \rho} \tilde g^{\beta \sigma} T_{\rho \sigma}$$

De nuevo,$\mathbf{\tilde T}$y$\mathbf{T}$son objetos diferentes que habitan espacios diferentes , pero están en correspondencia biunívoca y sus componentes están relacionados como arriba.

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Bueno. Entonces ahora preguntamos qué significa que un tensor se transforme de acuerdo con una regla de transformación particular. Dejar$\mathbf{R}$sea ​​un endomorfismo lineal en el espacio vectorial que mapea un vector$\mathbf{X}$a otro vector$\mathbf{X'=R(X)}$:

$$\mathbf{X'}=X'^\alpha e_\alpha = \mathbf{R}(X^\beta e_\beta)= \left(R^\alpha_{\ \ \beta} X^\beta\right) e_\alpha$$

y entonces

$$X'^\alpha = R^\alpha_{\ \ \beta} X^\beta$$

Una transformación ortogonal es aquella que respeta el producto interior:

$$\mathbf{g(X',Y')}=\mathbf{g}(R^\alpha_{\ \ \rho} X^\rho e_\alpha,R^\beta_{\ \ \sigma} Y^\sigma e_\beta)= R^\alpha_{\ \ \rho} R^\beta_{\ \ \sigma} X^\rho Y^\sigma \mathbf{g}(e_\alpha,e_\beta)$$ $$= R^\alpha_{\ \ \rho} R^\beta_{\ \ \sigma} X^\rho Y^\sigma g_{\alpha \beta}$$ $$= \mathbf{g(X,Y)}= g_{\rho \sigma} X^\rho Y^\sigma$$ entonces $$R^\alpha_{\ \ \rho} R^\beta_{\ \ \sigma} g_{\alpha \beta} = g_{\rho \sigma}$$

Si escribimos esto en forma matricial, entonces$R^\alpha_{\ \ \rho} = (R^T)^{\ \ \alpha}_\rho$y esto se convierte

$$\mathbf{R^T \circ g \circ R = g}$$ De manera equivalente, podemos usar aplicar la métrica inversa, lo que produce $$\mathbf{\tilde g \circ R^T \circ g \circ R = \tilde g \circ g} = \mathbb{1}$$ lo que implica que $$\mathbf{\tilde g \circ R^T \circ g} = \mathbf{R^{-1}} \iff \mathbf{R^T} = \mathbf{ g \circ R^{-1} \circ \tilde g} \iff \mathbf{R}=\mathbf{\tilde g \circ \left(R^{-1}\right)^T \circ g}$$ y por lo tanto que $$\mathbf{R^{-1}= R^T}$$ donde hemos usado eso$\mathbf{g}$es simétrico

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¿Qué pasa si usamos una transformación unitaria?$\mathbf{U}$en lugar de uno ortogonal? Bueno, no hay muchos cambios, pero ahora la transformación respeta el producto interior sesquilineal.

$$\langle\mathbf{X,Y}\rangle = \mathbf{g(\bar{X},Y)}$$ dónde$\mathbf{\bar X} = \bar X^\alpha e_\alpha$y$\bar X^\alpha$es el complejo conjugado de$X^\alpha$. Trabajando a través del mismo proceso, encontramos que

$$\bar U^\alpha_{\ \ \rho} U^\beta_{\ \ \sigma} g_{\alpha \beta} = g_{\rho \sigma}$$ o, en forma matricial (donde$\dagger$denota la transpuesta conjugada), $$\mathbf{U^\dagger \circ g \circ U} = \mathbf{g}$$ y entonces $$\mathbf{\tilde g \circ U^\dagger \circ g} = \mathbf{U^{-1}} \iff \mathbf{U^\dagger} = \mathbf{g \circ U^{-1} \circ \tilde g} \iff \mathbf{U} = \mathbf{\tilde g \circ \left(U^{-1}\right)^\dagger \circ g}$$ y por lo tanto que $$\mathbf{U^{-1} = U^\dagger}$$

donde hemos usado eso$\mathbf{g}$es simétrico y que sus componentes son reales.

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También podemos preguntar cómo un tensor general$\mathbf{T}\rightarrow \mathbf{T'}$debe transformarse bajo una acción de grupo$\mathbf{Q}$si vamos a irnos$\mathbf{T(X,Y)}$invariante. Hacemos básicamente lo mismo que antes (sin exigir que el$\mathbf{T'=T}$), y llegamos a

$$Q^\alpha_{\ \ \rho} Q^\beta_{\ \ \sigma} T'_{\alpha \beta} = T_{\rho \sigma}$$ Como la acción de grupo es invertible, podemos escribir $$T'_{\alpha \beta} = \left(Q^{-1}\right)^\rho_{\ \ \alpha} \left(Q^{-1}\right)^\sigma_{ \ \ \beta}T_{\rho \sigma}$$ o, en forma matricial,

$$\mathbf{T'} = \left(\mathbf{Q^{-1}}\right)^T \circ \mathbf{T} \circ \mathbf{Q^{-1}}$$

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Ahora a la pieza final. Dada toda la maquinaria que hemos construido, ¿cómo se transforman los tensores duales ? Bien,

$$\tilde T^{\alpha \beta} = \tilde g^{\alpha \rho} \tilde g^{\beta \sigma}T_{\rho \sigma}$$

entonces (bajo una transformación lineal$\mathbf Q$)

$$\tilde T'^{\alpha \beta} = \tilde g^{\alpha \rho} \tilde g^{\beta \sigma} T'_{\rho \sigma} = \tilde g^{\alpha \rho} \tilde g^{\beta \sigma} \left(Q^{-1}\right)^\mu_{\ \ \rho} \left(Q^{-1}\right)^\nu_{ \ \ \sigma}T_{\mu \nu}$$

$$=\tilde g^{\alpha \rho} \tilde g^{\beta \sigma} \left(Q^{-1}\right)^\mu_{\ \ \rho} \left(Q^{-1}\right)^\nu_{ \ \ \sigma}g_{\mu \eta} g_{\nu \tau} \tilde T_{\eta \tau}$$

Con un poco de esfuerzo, esto se puede poner en forma de matriz:

$$\mathbf{\tilde T'} = \left[\mathbf{\tilde g} \circ \left(\mathbf{Q^{-1}}\right)^T \circ \mathbf{g}\right] \circ \mathbf{\tilde T} \circ \left[\mathbf{g} \circ \mathbf{Q^{-1}} \circ \mathbf{\tilde g}\right]$$

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Un poco asqueroso, pero meh. ¿Qué sucede si esta transformación es ortogonal ? Podemos responder de inmediato en función de nuestro arduo trabajo anterior. Encontramos eso

$$\mathbf{\tilde g} \circ \left(\mathbf{R^{-1}}\right)^T \circ \mathbf{g} = \mathbf{R}$$

y eso

$$\mathbf{g} \circ \mathbf{R^{-1}} \circ \mathbf{\tilde g} = \mathbf{R^T}$$

entonces en forma matricial,

$$\mathbf{\tilde T'} = \mathbf{R \circ \tilde T \circ R^T}$$ mientras $$\mathbf{T'} = \mathbf{\left(R^{-1}\right)^T \circ T \circ R^{-1}}$$ porque las transformaciones ortogonales son tales que$\mathbf{R^T=R^{-1}}$, el tensor$\mathbf{T}$y su doble$\mathbf{\tilde T}$transforma precisamente de la misma manera.

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Por otro lado, ¿y si la transformación es unitaria ? el tensor$\mathbf{T}$se transforma igual que antes:

$$\mathbf{T'} =\mathbf{U \circ T \circ U^T}$$ pero ahora la inversa y la transpuesta no son lo mismo, y entonces el duelo tensor se transforma así $$\mathbf{\tilde T'} = \mathbf{\bar U \circ \tilde T \circ \bar U^T}$$ dónde$\mathbf{\bar U}$es el complejo conjugado de$\mathbf{U}$.