Confusiones sobre los vectores covariante y contravariante

Está tratando con diferentes objetos geométricos: vectores tangentes, que se pueden realizar como clases de equivalencia de curvas, y vectores cotangentes, que se pueden realizar como clases de equivalencia de funciones de valor real (piense en diferenciales).

Hay una operación de emparejamiento lineal natural entre estos objetos: componga una curva y una función, y obtendrá un mapa$\mathbb R\to\mathbb R$. Tómese su derivada en el punto en cuestión, et voilà. Esta operación de emparejamiento nos permite considerar los espacios como 'dual' y, en particular, identificar el espacio cotangente con el espacio de funcionales lineales en el espacio tangente.

Dado un sistema de coordenadas en una variedad, las líneas de coordenadas son curvas, lo que produce una base del espacio tangente, mientras que los componentes del gráfico de coordenadas son funciones, lo que produce una base del espacio cotangente. Es fácil demostrar que estas bases son algebraicamente duales, es decir, su emparejamiento produce la delta de Kronecker.

En las variedades (pseudo-)riemannianas, también hay un tensor métrico$g$, una forma bilineal no degenerada. Este tensor induce un isomorfismo$g^\flat:v\mapsto g(v,\cdot)$de la tangente al espacio cotangente ("bajando el índice"), con un mapa inverso$g^\sharp$('aumentando el índice').

El mapa$g^\sharp$se puede usar para retrotraer nuestra base del espacio cotangente al espacio tangente, produciendo la base recíproca. Los componentes de un vector$v$relativas a la base recíproca del espacio tangente son las mismas que las componentes del covector$g^\flat v$relativa a la base dual del espacio cotangente. Esto hace posible fusionar vectores y covectores, pero hoy en día se considera una mala idea.

Habiendo dicho todo eso, ahora vamos a tu pregunta real:

Pero si tuviera que tomar un vector$V^{\mu}$y bajar el índice a un covector$V_{\mu}$en un espacio plano, ciertamente no sería la complicada matriz de cambio de base que se muestra en el ejemplo. ¿Me estoy perdiendo de algo?

La métrica de Minkowski es esa 'matriz de cambio de base complicada': es solo que está tratando con una base ortonormal, lo que lo hace simple.

Cuando bajas un índice, ¿estás encontrando una entidad completamente diferente?

Sí, es una entidad diferente.$V^\mu$son los componentes del vector$\vec{V}$mientras$V_\mu$son los componentes de la forma única$\tilde{V}$ doble a$\vec{V}$con la relación fundamental

En resumen$\vec{V}$y$\tilde{V}$no son la misma entidad ya que pertenecen a diferentes espacios vectoriales pero están relacionados a través de la métrica.

Actualización : para enfatizar que los vectores y las formas únicas son objetos geométricos diferentes , considere la siguiente imagen y leyenda del artículo de Wikipedia " Forma única " .

Funcionales lineales (formas 1)$\mathrm{α, β}$y su suma$\mathrm{σ}$y vectores$\mathbf{u, v, w}$, en el espacio euclidiano 3d. El número de hiperplanos (forma 1) intersecados por un vector es igual al producto interno.

No lo vería de la forma en que @Alfred Centauri lo ha descrito. Lo que podría ser que no entienda bien la respuesta/ no entienda el significado matemático de las diferentes entidades aquí, pero volveré a ello después de mi opinión sobre el tema.

Hay un vector físico$\mathbf{V}$y uno puede expresar este vector con respecto a la base co- o contravariante:

$\{ \mathbf{e_µ} \}$y$\{ \mathbf{e^µ} \}$son solo bases diferentes, que están relacionadas por$\mathbf{e_µ}\mathbf{e^\nu}=\delta_\mu^{~~\nu}$. La base recíproca no es independiente de$\{ \mathbf{e_µ} \}$, tampoco lo son los componentes resultantes: ya que están relacionados por$V_\mu=g_{\mu\nu}V^\nu$. Permítanme citar la página de wikipedia que OP vinculó en ese punto:

en un espacio vectorial$V$sobre un campo$K$con una forma bilineal$g : V × V → K$(que puede denominarse tensor métrico), hay poca distinción entre vectores covariantes y contravariantes, porque la forma bilineal permite que los covectores se identifiquen con vectores. es decir, un vector$v$determina unívocamente un covector$\alpha$a través de

$$\alpha (w)=g(v,w)$$ para todos los vectores w. Por el contrario, cada covector $\alpha$determina un vector único $v$por esta ecuación. Debido a esta identificación de vectores con covectores, se puede hablar de componentes covariantes o componentes contravariantes de un vector, es decir, son solo representaciones del mismo vector usando bases recíprocas.

Estoy de acuerdo con @Alfred Centauri en que los vectores y componentes covariantes y contravariantes no son lo mismo, pero no estoy seguro de llamarlos entidades diferentes. Este podría ser mi error porque realmente no sé qué hacer con las "entidades" en un contexto matemático, pero para mí parece una gran diferencia entre dos objetos tan estrechamente relacionados.

EDITAR: después de algunos puntos hechos por @knzhou en los comentarios y después de algunas lecturas adicionales en un libro de texto moderno (Wald) sobre GR (que difiere un poco de las notas de lectura de GR de la "vieja escuela" de las que me enseñaron GR).

Creo que el punto de vista moderno es (como señaló @Alfred Centauri) distinguir realmente entre vectores (contravariante) y vectores duales (cotangente, covariante). La ecuación y los puntos que hice arriba no distinguen entre vectores y vectores duales y elegí una (base/métrica arbitraria) para expresar mi punto. La cita que hice en realidad describe la relación "íntima" entre ambos objetos, pero a un nivel fundamental e independiente de base/métrica son matemática y geométricamente diferentes. Hay una relación entre ellos pero son objetos diferentes/entidades diferentes.

Pero si uno introduce una base/métrica, puede usarla para

... establecer una correspondencia biunívoca entre vectores y vectores duales. De hecho, dada una métrica$g$podríamos usar esta correspondencia para eludir por completo la necesidad de introducir vectores duales. Normalmente esto se hace y explica por qué el concepto de vectores duales no es más familiar para la mayoría de los físicos. Sin embargo, en relatividad general estaremos resolviendo para la métrica del espacio-tiempo; dado que la métrica no se conoce desde el principio, es esencial que mantengamos completamente clara la distinción entre vectores y vectores duales. [RM Wald, 1984, General Relativity, p. 23]