¿Por qué se realizan los estados propios de energía en las transiciones atómicas?

El valor esperado de la energía es algo más que la energía en un experimento particular. Con su elección de los estados iniciales, los fotones emitidos (diferencia negativa) o absorbidos (diferencia positiva) tendrán energías

$$E_1-E_0 \text{ or } E_2-E_0 \text{ or } E_1-E_5 \text{ or } E_2-E_5$$ Si cada una de las cuatro transiciones fuera igualmente probable, con sus amplitudes complejas, cada una de las cuatro transiciones sería igualmente probable. Pero no es posible ninguna otra diferencia de energía además de la lista de cuatro posibilidades anterior porque la energía de ese átomo está cuantizada.

La diferencia de los valores esperados es solo el promedio ponderado de las diferencias de energía, con las probabilidades jugando el papel de los pesos. Pero las posibilidades reales son sólo cuatro, discretas, cuantificadas. ¡Los valores esperados solo cambian continuamente porque las probabilidades son continuas pero la energía del átomo no lo es!

Como dijo Danu, tampoco es razonable suponer que el estado final es una mezcla no trivial de diferentes estados propios de energía porque al medir la energía del fotón, medimos tanto la energía inicial como la final de manera más o menos única. Si medimos alguna cantidad, llevamos el sistema físico a un estado propio de esa cantidad (en este caso, y a menudo, energía) correspondiente al valor (eigen) medido.

Supongamos que su estado inicial es$\lvert 2\rangle$y que los estados$\lvert 0 \rangle$y$\lvert 1 \rangle$tienen energías más bajas que$\lvert 2 \rangle$. Suponiendo que no existe la llamada regla de selección que impide$\lvert 2 \rangle$de emitir un fotón y terminar en$\lvert 0 \rangle$o$\lvert 1 \rangle$, entonces el estado final será

$$\lvert 2 \rangle_{\mathrm{final}} = a\lvert 0 \rangle\lvert\mathrm{photon}_{20}\rangle + b\lvert 1\rangle\lvert\mathrm{photon}_{21}\rangle$$ Es una combinación lineal de las dos alternativas. Uno de ellos es la transición de $\lvert 2 \rangle$a $\lvert 0 \rangle$creando un $\mathrm{photon}_{20}$con energia $E_2-E_0$. Eso pasa con la amplitud $a$(probabilidad $\lvert a\rvert^2$). El otro corresponde a la transición de $\lvert 2 \rangle$a $\lvert 1 \rangle$. Ahora puedes escribir cómo el estado final $\lvert 3 \rangle_{\mathrm{final}}$, asumiendo $\lvert 3 \rangle$tiene algo más de energía que $\lvert 2 \rangle$. Finalmente, si el estado inicial es $$\frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 2 \rangle+\lvert 3 \rangle)$$ entonces el estado final será $$\frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 2 \rangle_{\mathrm{final}}+\lvert 3 \rangle_{\mathrm{final}})$$ Si se miden los fotones y se mide su energía, entonces un fotón individual será uno de los fotones en el estado final, por ejemplo $\mbox{photon}_{31}$. El estado final parecerá colapsado a $\lvert 1\rangle \lvert \mbox{photon}_{31}\rangle$, que dice que el átomo está en estado $\lvert 1 \rangle$.

Como ya dijiste, una medida de la energía del átomo de hidrógeno debe devolver un valor propio de energía. Medir antes y después de una transición nos da dos energías$E_n$y$E_m$. Esto siempre es cierto, independientemente del hecho de que el valor esperado de la energía antes de medir podría no ser una diferencia de$E_p$y$E_q$para algunos$p,q$: ¡La transición real es siempre entre dos de esos niveles de energía!

Ahora, la simple conservación de la energía nos dice que la energía emitida (o absorbida) durante la transición tiene que ser la diferencia de estos dos niveles de energía. Para evitar confusiones, tenga en cuenta que el valor esperado de la energía inmediatamente después de la medición es exactamente$E_\text{measured}$y nada más.