¿Deberían ponderarse los autos en |P⟩=∑r|ξr⟩|P⟩=∑r|ξr⟩|P\rangle = \sum\limits_{r}|\xi^r\rangle?

Question

¿Deberían ponderarse los autos en |P⟩=∑r|ξr⟩|P⟩=∑r|ξr⟩|P\rangle = \sum\limits_{r}|\xi^r\rangle?

amante de la física

La página 37 del libro de Dirac Los principios de la mecánica cuántica , afirma

La condición para los estados propios de $\xi$ para formar un conjunto completo debe formularse, por lo tanto, que cualquier ket $|P\rangle$ puede expresarse como una integral más una suma de autoconsumos de $\xi$ , es decir

$| PAG ⟩ = \int | ξ^{'} C ⟩ d ξ^{'} + \sum_{r} | ξ^{r} d ⟩$ $|P\rangle = \int |\xi'c\rangle\; d\xi' + \sum\limits_{r}|\xi^rd\rangle$

donde el $|\xi'c\rangle$ , $|\xi^rd\rangle$ son todos autos de $\xi$ , las etiquetas c y d se insertan para distinguirlos cuando los valores propios $\xi'$ y $\xi^r$ son iguales, y donde la integral se toma sobre todo el rango de valores propios y la suma se toma sobre cualquier selección de ellos.

Encuentro inconsistente que los autos bajo la integral estén ponderados por lo que parece ser un valor propio diferencial $d\xi'$ , sin embargo, todos los autos bajo la suma están ponderados por el valor 1. ¿Es esto correcto?

Respuestas (2)

¿Deberían ponderarse los autos en |P⟩=∑r|ξr⟩|P⟩=∑r|ξr⟩|P\rangle = \sum\limits_{r}|\xi^r\rangle?

omyojj · Answer 1

omyojj

Si los autos se definen hasta constantes arbitrarias, es posible escribir la suma sin ningún coeficiente.

amante de la física

cada ket-vector puede expresarse como la suma de un conjunto de vectores propios ponderados unitario? Encuentro esto difícil de creer.

Brandon Enright

omyojj, ¿puedes dar más detalles?

Emilio Pisanty

@Physikslover tenga en cuenta que, en esencia, los pesos se absorben en los elementos propios, que ya no están normalizados.

Urgje · Answer 2

La situación se puede describir con mayor precisión mediante la resolución de la identidad para un operador autoadjunto. Así que deja $X=X^{\ast }$ (de Dirac $% \xi$ ) sea un operador autoadjunto que actúe en un espacio de Hilbert separable $% \mathcal{H}$ con espectro continuo singular vacío. Entonces

X = \int_{Λ} λ mi (d λ),

$\begin{equation*} X=\int_{\Lambda }\lambda E(d\lambda ), \end{equation*}$ dónde

{E (. .)}

$\{E(..)\}$ es la resolución de la identidad para

X

$X$ y

Λ \subset R

$\Lambda \subset \mathbb{R}$ su espectro. En particular

E (R) = I

$E(\mathbb{R})=I$ , el operador de identidad. Podemos descomponer en espectro discreto y continuo

X = \sum_{norte} \sum_{metro} λ_{norte} | φ_{norte metro} >< φ_{norte metro} | + \int λ {mi}_{C o norte t} (d λ),

$\begin{equation*} X=\sum_{n}\sum_{m}\lambda _{n}|\varphi _{nm}><\varphi _{nm}|+\int \lambda E_{cont}(d\lambda ), \end{equation*}$ donde el

φ_{n m}

$\varphi _{nm}$ son los estados propios discretos ortonormales. El subíndice

m

$m$ etiqueta la posible degeneración de los estados discretos (piense en el momento angular en un problema con un potencial esférico como el potencial de Coulomb). Con el espectro continuo no se pueden asociar autoestados cuadrados integrables, pero en muchos casos existe una expansión de función propia

{mi}_{C o norte t} (d λ) = | ψ_{yo s} >< ψ_{yo s} | d λ .

$\begin{equation*} E_{cont}(d\lambda )=|\psi _{ls}><\psi _{ls}|d\lambda . \end{equation*}$ Piense en las funciones propias de onda plana del operador de cantidad de movimiento

pag = \int d k k | ψ_{k} >< ψ_{k} |, ψ_{k} (X) =< X | ψ_{k} >= (2 π)^{- 1 / 2} Exp [i k X],

$\begin{equation*} p=\int dkk|\psi _{k}><\psi _{k}|,\;\psi _{k}(x)=<x|\psi _{k}>=(2\pi )^{-1/2}\exp [ikx], \end{equation*}$ donde el

ψ_{k}

$\psi _{k}$ son

δ

$\delta$ -función normalizada,

\int d X ψ_{k} (X) \bar{ψ_{yo} (X)} = d (k - yo) .

$\begin{equation*} \int dx\psi _{k}(x)\overline{\psi _{l}(x)}=\delta (k-l). \end{equation*}$ Tenga en cuenta que puede haber valores propios discretos incrustados en el espectro continuo. En casos más complicados también pueden presentarse aquí degeneraciones. Ahora considere la de Dirac

| P >

$|P>$ .

\begin{array}{rcl} | PAG & > & = \int_{Λ} mi (d λ) | PAG >= \sum_{norte} \sum_{metro} | φ_{norte metro} >< φ_{norte metro} | PAG > + \sum_{s} \int_{Λ^{C o norte t}} d λ | ψ_{λ s} >< ψ_{λ s} | PAG > \\ \leftrightarrow & \sum_{r} | ξ^{r} d > + \int d ξ^{'} | ξ^{'} C > . \end{array}

$\begin{eqnarray*} |P &>&=\int_{\Lambda }E(d\lambda )|P>=\sum_{n}\sum_{m}|\varphi _{nm}><\varphi _{nm}|P>+\sum_{s}\int_{\Lambda ^{cont}}d\lambda |\psi _{\lambda s}><\psi _{\lambda s}|P> \\ &\leftrightarrow &\sum_{r}|\xi ^{r}d>+\int d\xi ^{\prime }|\xi ^{\prime }c>. \end{eqnarray*}$ Tenga en cuenta que el

ξ^{r} d

$\xi ^{r}d$

\leftrightarrow< φ_{n m} | P >

$\leftrightarrow <\varphi _{nm}|P>$ en general no están normalizados a la unidad.

De hecho, el enfoque de Dirac, aunque intuitivamente atractivo, es algo impreciso.

¿Deberían ponderarse los autos en |P⟩=∑r|ξr⟩|P⟩=∑r|ξr⟩|P\rangle = \sum\limits_{r}|\xi^r\rangle?

amante de la física

Respuestas (2)

omyojj

amante de la física

Brandon Enright

Emilio Pisanty

Urgje

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