¿Por qué obtenemos 2 respuestas diferentes para la velocidad de escape, cuando aplicamos diferentes leyes para calcularla?

Question

¿Por qué obtenemos 2 respuestas diferentes para la velocidad de escape, cuando aplicamos diferentes leyes para calcularla?

Aaryan Dewan

Para medir la velocidad de escape, si uso la ecuación -

\frac{- GRAMO METRO metro}{r^{2}} = \frac{v . d v}{d r}

$\frac{-GMm}{r^2}=\frac{v.dv}{dr}$

y puse mi distancia final para ser $\infty$ , luego obtengo la respuesta,

\begin{matrix} (1) & tu = \sqrt{\frac{2 GRAMO METRO}{R}} . \end{matrix}

$u = \sqrt\frac{2GM}{R} \;. \tag{1}$ ¡Lo cual es bastante obvio!

Pero, si uso las ecuaciones -

{tu}_{\infty} - {tu}_{i} = \frac{GRAMO METRO metro}{R}

$U_{\infty} - U_i = \frac{GMm}{R}$

y

k_{\infty} + {tu}_{\infty} = k_{R} + {tu}_{R}

$K_{\infty}+U_{\infty} = K_R+U_R$

Dónde, $K_R$ y $U_R$ son energías cinéticas y energías potenciales en R respectivamente, donde R es el radio de la tierra.

Ahora en estas dos ecuaciones, si pongo $U_{\infty} = 0$ , entonces obtengo,

\begin{matrix} (3) & k_{\infty} = k_{R} - \frac{GRAMO METRO metro}{R} \end{matrix}

$K_{\infty} = K_R - \frac{GMm}{R}\tag{3}$

Y desde, $K_{\infty}$ es positivo y no cero, terminamos obteniendo eso

\begin{matrix} (2) & tu > \sqrt{\frac{2 GRAMO METRO}{R}} \end{matrix}

$u > \sqrt\frac{2GM}{R} \tag{2}$

Es decir, si quiero llevar el objeto al infinito, la velocidad debe ser (1), pero si quiero que su energía potencial final sea 0, entonces su velocidad debe ser mayor que (1). Además, (1) no se puede usar en (3) porque eso significaría el final $KE$ es 0, que obviamente no lo es!

¿Qué está generando este bulo? Por favor, dime dónde me equivoco.

dmckee --- gatito ex-moderador

Reelaboré mucho de tu LaTeX. Por favor, compruebe que no estropeé nada, pero también mire lo que hice. Puede usar $$la delimitación para establecer bloques de ecuaciones, poner la ecuación completa en un solo conjunto de delimitadores y usar \tagpara establecer números de ecuaciones.

Aaryan Dewan

@dmckee gracias! En realidad, ¡no sé cómo escribirlo de manera efectiva! Espero que la próxima vez lo haga mejor.

Respuestas (3)

¿Por qué obtenemos 2 respuestas diferentes para la velocidad de escape, cuando aplicamos diferentes leyes para calcularla?

Reelaboré mucho de tu LaTeX. Por favor, compruebe que no estropeé nada, pero también mire lo que hice. Puede usar $$la delimitación para establecer bloques de ecuaciones, poner la ecuación completa en un solo conjunto de delimitadores y usar \tagpara establecer números de ecuaciones.
@dmckee gracias! En realidad, ¡no sé cómo escribirlo de manera efectiva! Espero que la próxima vez lo haga mejor.

Físico137 · Answer 1

La velocidad de escape es la velocidad mínima posible tal que escapa de un pozo gravitacional. De la conservación de la energía tenemos:

mi = k + tu = \frac{1}{2} metro v^{2} - \frac{GRAMO METRO metro}{r}

$E = K+U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$

Consideremos la energía inicial y final como $E_1$ y $E_2$ . Para escapar, debes asegurarte de que tu velocidad anula por completo la energía potencial. La máxima energía potencial posible que existe, es el caso $U = 0$ , eso pasa un $r\to\infty$ . En todos los demás casos, tenemos $U < 0$ , y por lo tanto $U = 0$ es máximo. Si tu energía cinética es mayor que este máximo, escapaste. Entonces, asegurémonos de esto. Suponiendo que su energía inicial sea:

{mi}_{1} = k_{1} + {tu}_{1} = k_{2} + {tu}_{2} = {mi}_{2}

$E_1 = K_1 + U_1 = K_2 + U_2 = E_2$

Como máximo, tenemos $U_2 = 0$ , entonces:

k_{1} + {tu}_{1} = k_{2} ⟹ k_{1} = k_{2} - {tu}_{1}

$K_1 + U_1 = K_2 \quad\implies\quad K_1 = K_2 - U_1$

Entonces, si tienes energía cinética $K_1$ , te escapas. Como usted señaló, las cosas al final suceden como $r\to\infty$ y por lo tanto $E_2 = E_\infty = K_\infty + U_\infty$ . De este modo: $K_2 = K_\infty$ . Es decir, esa será tu energía cinética en el infinito.

k_{1} = k_{\infty} - {tu}_{1} ⟹ \frac{1}{2} metro v^{2} = \frac{1}{2} metro v_{\infty}^{2} + \frac{GRAMO METRO metro}{r_{1}}

$K_1 = K_\infty - U_1\quad\implies\quad \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} mv_\infty^2 + \frac{GMm}{r_1}$

La velocidad que necesitas para escapar tal que, en el infinito, tienes velocidad $v_\infty$ es:

v = \sqrt{v_{\infty}^{2} + \frac{2 GRAMO METRO}{r_{1}}}

$v = \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2GM}{r_1}}$

En $v_\infty = 0$ , recuperas la velocidad mínima que necesitas tener para escapar. Como es mínimo, su velocidad en el infinito será cero. Una vez que llegas al infinito, sin importar si tienes velocidad o no, escapas y entonces tu energía potencial es cero.

¡Gracias por la respuesta! Entonces, lo que estás diciendo es que la KE final y la PE son 0 y, como sabemos que la PE inicial es negativa, nuestra KE inicial debe equilibrar de alguna manera nuestra energía potencial inicial, por lo que la energía total de nuestro cohete en cualquier instante debe ser ¡cero! ?
Estoy diciendo que, si tienes algo de energía $E\ge 0$ , te escapas. En particular, si $E = 0$ , luego escapas, y en el infinito tu energía cinética (y por lo tanto la velocidad) es cero. Entonces, la velocidad de escape es precisamente cuando $E = 0$ , ya que la velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para escapar. Cualquier velocidad mayor servirá también. =).

Suprabha · Answer 2

Definimos la velocidad de escape como la velocidad mínima requerida para superar la atracción de la tierra. Entonces se supone que en el infinito la energía cinética es 0. Por lo tanto, ambas ecuaciones dan respuestas correctas. Aunque estamos despreciando la resistencia del aire y otras fuerzas. Así que en casos prácticos la velocidad inicial , u >(2GM /R)^(1/2). Pero teóricamente la velocidad de escape es (2GM/R)^(1/2)... de ambas ecuaciones.

Aaryan Dewan · Answer 3

Entonces, todo depende de la energía inicial del sistema. Si el KE y el PE finales son 0 tal como lo indica la respuesta aceptada, entonces debe usar el valor preciso de la velocidad de escape para que se cancele exactamente con $\frac{-GMm}{R}$ . Entonces, de acuerdo con esto en el infinito, llegarás a descansar.

Pero si obtiene algo más de energía inicial al aumentar su KE inicial, entonces alcanzará el infinito, su energía potencial final será 0 pero nunca llegará al reposo.

Así que no hay inconsistencia matemática en la pregunta. Simplemente no pude entender qué resultados estoy obteniendo.

Todavía estás confundido. Velocidad de escape significa la velocidad mínima para llegar al infinito. Establecer las condiciones adecuadas para interpretar cómo resolver un problema de física es parte de entender la física o tal vez la lógica o las palabras.
¿Puede señalar dónde me equivoqué en la respuesta que proporcioné?
Velocidad de escape significa velocidad cero en el infinito. Su respuesta sobre la inconsistencia matemática no hace ninguna diferencia. Simplemente acepte que la respuesta correcta, como parece haber elegido, es la correcta. No si y peros.
¡Gracias @BobBee! Pero, ¿puede decirme que si empujo mi objeto con una velocidad inicial mayor que la velocidad de escape, entonces su velocidad final en el infinito no será cero, como señalé?

¿Por qué obtenemos 2 respuestas diferentes para la velocidad de escape, cuando aplicamos diferentes leyes para calcularla?

Aaryan Dewan

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