Fórmula de la velocidad de escape

Question

Fórmula de la velocidad de escape

usuario179960

Mientras establecía la relación de la velocidad de escape y el radio, me enfrenté a un problema.

(i)

v_{mi} = \sqrt{\frac{2 GRAMO METRO}{R}}

$v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Esto establece que $v_e$ es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio.

(i)

v_{mi} = \sqrt{2 gramo R}

$v_e=\sqrt{2gR}$

Esto establece que $v_e$ es directamente proporcional a la raíz cuadrada del radio.

¿Quién tiene razón?

jerbo sammy

Las dos fórmulas no se contradicen, porque no utilizan las mismas variables.

Respuestas (4)

Fórmula de la velocidad de escape

Las dos fórmulas no se contradicen, porque no utilizan las mismas variables.

floris · Answer 1

El problema se resuelve cuando te das cuenta de que $g$ en tu segunda fórmula es una función de $R$ : si

F = \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}}

$F = \frac{GMm}{r^2}$

se reescribe como

F = metro gramo

$F = mg$

Entonces se sigue que

gramo = \frac{GRAMO METRO}{r^{2}}

$g = \frac{GM}{r^2}$

Cuando sustituyes eso en tu segunda ecuación, obtienes la primera...

Eso significa que la relación correcta se obtiene de la primera.
Ambos son correctos si el segundo tiene la raíz cuadrada de todo.
No es contradictorio. Si te encontraras en una órbita muy alta (digamos cerca de la luna), podrías escapar de la gravedad de la tierra desde allí con una velocidad menor que la que necesitarías cerca de la tierra. La segunda ecuación que tienes expresa cosas relativas a la gravedad local a la altura en la que te encuentras (que a su vez desciende con el inverso del cuadrado de la distancia al centro de la tierra). Así que en lugar de considerar $g$ constante y confundido, debes reconocer que es realmente $g(r)$ , amplía la expresión y date cuenta de que no hay contradicción.
Gracias ... o sea , la g en la segunda es una función de R ... hay dos variables ...

granjero · Answer 2

Cuando escribes una relación entre dos variables $x$ y $y$ como $y \propto x$ también puedes escribir esto como $y=kx$ dónde $k$ es una constante independiente de $x$ y $y$ .

Asumir que $R$ es el radio del planeta, $M$ .

Usando su primera ecuación, declaró que la velocidad de escape $v_{\rm c}$ es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio, $\sqrt R$ , siempre que la masa, $M$ , es constante.
Pero tienes un problema porque asumiendo que es un planeta homogéneo esférico de densidad $\rho$ la masa $M = \frac 43 \pi R^3 \rho$ y la masa depende del radio, entonces lo que asumiste como una constante, $2GM$ , no es independiente del radio.

Para la segunda ecuación estás diciendo que la velocidad de escape $v_{\rm c}$ es proporcional a la raíz cuadrada del radio, $\sqrt R$ , proporcionó $g$ es constante
Sin embargo $g = \frac{GM}{R^2}$ por lo que de hecho también depende de $R$ invalidando así su segunda proporcionalidad.

Sin embargo, puede demostrar que si la densidad es constante, entonces la velocidad de escape de un planeta esférico homogéneo es proporcional al radio del planeta.

caverna · Answer 3

Puede derivar la velocidad de escape calculando la energía en la superficie y luego en el infinito

\begin{matrix} (1) & {mi}_{s tu r F} = \frac{1}{2} metro v^{2} - GRAMO \frac{METRO metro}{R} \end{matrix}

$E_{\rm surf} = \frac{1}{2}mv^2 -G\frac{M m}{R} \tag{1}$

quieres encontrar $v$ tal que la masa $m$ alcanza el infinito $r\to\infty$ con velocidad cero, es decir

\begin{matrix} (2) & {mi}_{inf} = 0 \end{matrix}

$E_{\inf} = 0 \tag{2}$

Si juntas estas dos ecuaciones

\begin{matrix} (3) & \frac{1}{2} metro v_{mi}^{2} - GRAMO \frac{METRO metro}{R} = 0 \Rightarrow v_{mi} = {(\frac{2 GRAMO METRO}{R})}^{1 / 2} \end{matrix}

$\frac{1}{2}mv_e^2 - G\frac{Mm}{R} = 0 ~~~\Rightarrow~~~ v_e = \left(\frac{2GM}{R}\right)^{1/2} \tag{3}$

Pero ahora, la fuerza que $m$ se siente en la superficie es

\begin{matrix} (4) & F = - GRAMO \frac{METRO metro}{R^{2}} = - (\frac{GRAMO METRO}{R^{2}}) metro = - gramo metro con gramo = \frac{GRAMO METRO}{R^{2}} \end{matrix}

$F = -G\frac{Mm}{R^2} = -\left(\frac{G M}{R^2}\right)m = -g m ~~~\mbox{with}~~~ g = \frac{GM}{R^2}\tag{4}$

Reemplazando la Ec. (4) en la ecuación. (3) obtienes

\begin{matrix} (5) & v_{mi} = {(2 gramo R)}^{1 / 2} \end{matrix}

$v_e = \left(2 g R\right)^{1/2} \tag{5}$

¿ Sería tan amable de indicar la relación correcta entre g y R ?

Nemo · Answer 4

$g$ Se define como:

gramo = \frac{GRAMO METRO}{R^{2}}

$g=\frac{GM}{R^2}$

La velocidad de escape es:

v_{mi} = {(\frac{2 GRAMO METRO}{R})}^{0.5}

$v_{e}=\left(\frac{2GM}{R}\right)^{0.5}$

Puedes escribir esta ecuación en términos de $g$ haciendo este truco:

v_{mi} = {(\frac{2 GRAMO METRO}{R} \frac{R}{R})}^{0.5} = {(2 \frac{GRAMO METRO}{R^{2}} R)}^{0.5} = {(2 gramo R)}^{0.5}

$v_{e}=\left(\frac{2GM}{R}\frac{R}{R}\right)^{0.5}=\left(2\frac{GM}{R^2}R\right)^{0.5}=\left(2gR\right)^{0.5}$

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