¿Por qué no usamos la ecuación de Schrödinger/QM estándar para describir fonones (u otras cuasi partículas)?

En la física de la materia condensada, o en cualquier teoría de campos donde los números de partículas no se conservan (como la física de partículas), la ecuación de Schrödinger no funciona. La ecuación de Schrödinger necesita la condición de que el número de partículas sea constante.

En la mecánica cuántica estándar, donde usamos la ecuación de Schrödinger, tenemos la función de onda$\psi(x)$y nos encontramos con el término$\rho=\psi^*(x)\psi(x)$que representa la probabilidad (densidad) de encontrar la partícula en$x$y cuando integramos$\rho$sobre todo el espacio, requerimos que sea igual a la unidad, una constante. Eso es,

Si pasamos a una teoría en la que el número de partículas no se conserva, o en la que las partículas se aniquilan o crean, el requisito de la ecuación anterior ya no tiene sentido. Por ejemplo, si una partícula fuera a aniquilarse o "desaparecer" repentinamente, la probabilidad de encontrarla justo antes de que desaparezca será uno y cero a partir de entonces. Por lo tanto, no podemos usar la ecuación de Schrödinger para describir fonones ni, de hecho, ninguna teoría de campo en la que se creen y destruyan partículas.

Estoy argumentando aquí de una manera diferente a la respuesta de @josephh. En mi opinión, definitivamente puedes aplicar la ecuación de Schrödinger, resp. una versión probablemente con un nombre diferente, también para fonones, pero debe extender el marco.

En la configuración estándar, está basando todo el formalismo en un espacio de Hilbert$\mathcal H_N$con un número de partículas definido$N$, y al resolver el SE estás buscando una solución$|\Psi_N\rangle \in \mathcal H_N$.

En el caso de los fonones, en su lugar, debe usar el espacio Fock$\mathcal F$, que es la suma directa de todos los espacios de Hilbert con un número variable de partículas$N$. En este espacio se pueden definir los procesos físicos de creación y aniquilación en el sentido de que una función de onda va desde el subespacio$\mathcal H_N$a$\mathcal H_{N\pm1}$.

Sin embargo, en la práctica, esta descripción detallada suele ser demasiado compleja y, por lo tanto, como se menciona en la otra respuesta, la matriz de densidad se usa comúnmente. No le importa el microestado de su sistema, sino que da la probabilidad (densidad) de encontrar la partícula en un punto del espacio.$x$.

Por cierto: de la misma manera, también diría que puedes aplicar la ecuación de Schrödinger a un sistema con espín$\neq 0$(aunque se llame de otra manera). La idea es similar: por ejemplo, para electrones, en lugar de usar el espacio de Hilbert$\mathcal H$, uno usa un espacio extendido (Hilbert)$\mathcal H \times \{\uparrow,\downarrow\}$, dónde$\uparrow,\downarrow$son estados de espín de una partícula de espín-1/2, y aplica la (forma de la) ecuación de Schrödinger nuevamente, con un hamiltoniano específico. La forma particular del hamiltoniano determina básicamente el tipo de ecuación y su nombre (por ejemplo, ecuación de Pauli, etc.).