¿Por qué no se pueden reemplazar los fantasmas de Faddeev-Popov con bosones?

Los fantasmas de Faddeev-Popov se introducen en la cuantización de la teoría de Yang-Mills para absorber el determinante de Faddeev-Popov en la acción,

$$\det \Delta_{\text{FP}} = \int \mathcal{D} \bar{c} \mathcal{D} c \, e^{i \int dx \, \bar{c}^a(x) (\Delta_{\text{FP}} c(x))^a}.$$ Aquí, $c$es un escalar de Lorentz, y debe ser fermiónico, como si usáramos una variable bosónica $\psi$en cambio, obtendríamos el determinante en el denominador en lugar del numerador, $$\frac{1}{\det \Delta_{\text{FP}}} \propto \int \mathcal{D} \bar{\psi} \mathcal{D} \psi \, e^{i \int dx \, \bar{\psi}^a(x) (\Delta_{\text{FP}} \psi(x))^a}.$$ Así que tenemos que aceptar una violación de las estadísticas de espín para cuantificar Yang-Mills.

Pero a un amigo mío se le ocurrió una alternativa simple: simplemente tenga en cuenta que

$$\det \Delta_{\text{FP}} = \frac{1}{\det \Delta_{\text{FP}}^{-1}} \propto \int \mathcal{D} \bar{\psi} \mathcal{D} \psi \, e^{i \int dx \, \bar{\psi}^a(x) (\Delta_{\text{FP}}^{-1} \psi(x))^a}.$$ Tenga en cuenta que existe el inverso porque el determinante es distinto de cero; si el determinante fuera cero, toda la integral de trayectoria sería cero y no podríamos hacer nada, fantasmas o no.

¿Hay algo malo con este método? ¿Conduce a algunas complicaciones en el futuro? Si no, ¿por qué se usan típicamente las estadísticas de giro que violan los fantasmas de Faddeev-Popov, cuando esta configuración se ve mucho mejor?