¿Cuáles son las partes invariantes de norma del tensor de intensidad de campo de Yang-Mills?

Question

¿Cuáles son las partes invariantes de norma del tensor de intensidad de campo de Yang-Mills?

Sean E. Lago

En el electromagnetismo, que es una teoría abeliana de calibre, tenemos el buen hecho de que todos los componentes de

F_{m v} = \partial_{m} A_{v} - \partial_{v} A_{m}

$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ son cantidades invariantes de calibre. Podemos hablar equivalentemente sobre el campo en términos de

A_{⊥}

$\mathbf{A}_{\perp}$ y

E_{| |}

$\mathbf{E}_{||}$ , la parte solenoidal del potencial vectorial y la parte irrotacional del campo eléctrico (respectivamente), como un conjunto completo de cantidades invariantes de calibre que determina completamente el estado del campo en todas partes sin degeneración.

Cuando pasamos a la teoría de Yang-Mills no abeliana , los componentes de la intensidad de campo

\begin{aligned} F_{m v} & = \frac{i}{gramo} [D_{m}, D_{v}] \\ = \partial_{m} A_{v} - \partial_{v} A_{m} - i gramo [A_{m}, A_{v}] \\ = T^{a} (\partial_{m} A_{v}^{a} - \partial_{v} A_{m}^{a} + gramo F^{a b C} A_{m}^{b} A_{v}^{C}) \end{aligned}

$\begin{align} F_{\mu\nu} & = \frac{i}{g}\left[D_\mu,\, D_\nu\right] \\ & = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu - ig \left[A_\mu,\, A_\nu\right] \\ & = T^a \left(\partial_\mu A^a_\nu - \partial_\nu A^a_\mu +gf^{abc} A^b_\mu A^c_\nu\right) \end{align}$ convertirse en matrices en el espacio de grupo (

T^{a}

$T^a$ son generadores de transformaciones del grupo). Así, los elementos de la intensidad de campo indexados por el espacio-tiempo,

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$ , ya no son invariantes de calibre sino covariantes de calibre, transformándose como un tensor de rango dos en cualquier representación del grupo de calibre en el que se encuentran los generadores.

Cuando quiero conocer las partes invariantes del grupo de una matriz, pienso en "valores propios", al menos cuando el grupo se define conservando un producto interno en algún espacio vectorial (como $\operatorname{SU}(N)$ es). En otras palabras, me parece que la información física estará contenida en las partes invariantes de calibre de $F_{\mu\nu}$ y encontrar los valores propios suena como la forma de hacerlo.

¿Se ha hecho esto? Parece poco probable que una sola transformación de calibre pueda diagonalizar simultáneamente todos los $F_{\mu\nu}$ en cualquier punto del espacio-tiempo, ¿cuáles son las consecuencias de esto (si es cierto)? Finalmente, los valores propios de $F_{\mu\nu}$ ser también independiente de qué representación $T^a$ (es decir, encontrar los valores propios en la representación definitoria daría el mismo resultado que cualquier otra representación), asumiendo que todas las representaciones tienen la misma condición de normalización (por ejemplo, $\operatorname{Tr}(T^a T^b)= \delta_{ab} / 2$ )?

Respuestas (1)

¿Cuáles son las partes invariantes de norma del tensor de intensidad de campo de Yang-Mills?

David Bar Moshé · Answer 1

El problema planteado es formidable. Si tuviéramos expresiones analíticas cerradas de los componentes invariantes de calibre del espacio reducido de un sistema de calibre, sería un paso hacia la solución del problema del Milenio de Yang-Mills. (Entonces necesitaríamos cuantizar este espacio, lo cual es un problema formidable en sí mismo).

Huebschmann, Rudolph y Schmidt han realizado el ejercicio anterior en un caso (muy) simplificado de una teoría de calibre de celosía que consiste en una sola plaqueta; y como puede ver, incluso este caso es extremadamente difícil. El espacio de fase reducido en este caso es

{METRO}_{r mi d} = T^{*} T / W

$M_{red} = T^*T/W$ Dónde

T

$T$ es el toro máximo del grupo de calibre

G

$G$ ,

T^{*} T

$T^*T$ es su fibra cotangente y

W

$W$ es el grupo de Weyl.

Además, el espacio reducido no es una variedad. Tiene la estructura de lo que se llama un espacio simpléctico estratificado, que es una unión disjunta de estratos de la acción de los grupos de norma sobre el espacio no reducido. El cálculo aproximado de los niveles de energía en este problema implica el cálculo de las probabilidades de formación de túneles entre los estratos.

Volviendo a la pregunta original en el continuo

Algunas de las invariantes de los campos de Yang-Mills se pueden dar mediante clases características; consulte la revisión de Eguchi, Gilkey y Hansen (sección 6). Estas clases características son formas diferenciales de calibre que consisten en trazas de polinomios de las intensidades de campo, que además, cuando se integran en ciclos apropiados de la variedad de espacio-tiempo, dan invariantes topológicos. Por ejemplo, la segunda clase de Chern

C_{2} = \frac{1}{8 π^{2}} (t r F \land F - t r F \land t r F)

$c_2 = \frac{1}{8 \pi^2} \left (\mathrm{tr} F \wedge F - \mathrm{tr}F \wedge \mathrm{tr}F \right )$ Sin embargo, estas invariantes no separan el espacio invariante de calibre reducido (es decir, no agotan las coordenadas invariantes de calibre del espacio reducido).

Otro tipo de invariantes basados en holonomías implica la conexión de Yang-Mills (potencial vectorial) y no las intensidades de campo. Estos invariantes tienen la forma de bucles de Wilson.

t r PAG {mi}^{\int_{Γ} A}

$\mathrm{tr}\mathrm{P}e^{\int_{\Gamma} A}$ donde la integración es sobre un camino cerrado

Γ

$\Gamma$ y

P

$\mathrm{P}$ denota el orden de la ruta.

La colección de bucles de Wilson sobre todos los caminos posibles en el espacio-tiempo separa el espacio de fase reducido. En realidad, esta representación es la base de la formulación de bucles de la teoría de Yang-Mills, consulte la siguiente revisión de Loll. Sin embargo, este enfoque plantea grandes dificultades en la cuantificación.

¿Cuáles son las partes invariantes de norma del tensor de intensidad de campo de Yang-Mills?

Sean E. Lago

Respuestas (1)

David Bar Moshé

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