Partícula en una caja: valor de la función de onda u(x)u(x)u(x) cuando el potencial V(x)V(x)V(x) es infinito

Regrese a su ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u(x)}{dx^2}+V(x)u(x)=Eu(x)$$ Esta es una ecuación diferencial que debe ser satisfecha para todos los valores de $x$. En particular, si observamos la ecuación para $x = x_0 > a$, tenemos $$-\frac{\hbar^2}{2m}u''(x_0) + (\infty) u(x_0) = E u(x_0)$$ Si $u(x_0) \neq 0$, entonces al menos una de dos cosas debe ser cierta: $E = \infty$o $u''(x_0) = \infty$. Presumiblemente no queremos que las energías de nuestros estados propios sean infinitas, y presumiblemente queremos que nuestras funciones de onda tengan derivadas segundas bien definidas (excepto quizás en puntos aislados). 1 Por lo tanto, esto es una contradicción, por lo que ^debemos tener $u(0) = 0$en una región del espacio donde $V(x) = \infty$.

Ahora, en realidad, el pozo de potencial infinito debe verse como el límite del pozo de potencial finito, es decir, tomar$V = V_0 < \infty$para$x <0$y$x>a$y luego tomar el límite como$V_0 \to \infty$. En tal caso, la función de onda de la partícula satisfaría (por ejemplo)

$$u''(x_0) = \frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2} u(x_0)$$ que tiene la solución (por $x < 0$) $$u(x) = A \exp \left[ \frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar} x \right].$$ (También hay una solución con el signo de la raíz cuadrada invertido, pero resulta imposible normalizarlo). Como $V_0 \to \infty$, obtenemos $u(x) \to 0$para todos $x <0$. Por lo tanto, incluso si tomamos el límite con más cuidado, aún obtenemos el resultado de que la función de onda se desvanece fuera del pozo como $V_0 \to \infty$.

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¹ En algunas circunstancias, puede tener una función con$u''(x_0) = \infty$en puntos aislados; de hecho, en este caso$u''(0) = u''(a) = \pm \infty$dependiendo del estado propio. Pero esto solo está permitido en puntos aislados, y es realmente un artefacto de elegir un potencial infinito físicamente irreal. En realidad, los pozos de potencial nunca son infinitos, por lo que la segunda derivada de la función de onda siempre está bien definida en todas partes.

En el$x<0$y$x>a$regiones la solución será, respectivamente,

$$u(x)=Ae^{bx} \text{ and } u(x)=Be^{-bx},$$ dónde $A$y $B$son constantes a determinar (si es necesario) y $b=\frac{\sqrt{2m(V-E)}}{\hbar}$. A continuación, tome el límite como $V\to\infty$con signos apropiados de x en cada región.

Recuerda que el potencial$V(x)$está relacionado con una fuerza$F(x)$a través de:

$$F(x)=-\frac{dV(x)}{dx}.$$

En$x \leq 0$y$x \geq a$,$V=+\infty$, por lo que en estas áreas:

$$x \geq a,$$ $$F(x) = -\infty \, .$$

y:

$$x \leq 0,$$ $$F(x) = +\infty.$$

Entonces, una fuerza infinita actúa sobre la partícula en ambos bordes de estas áreas, evitando que entre en estas áreas. En estas áreas la probabilidad de encontrar la partícula es cero y por lo tanto:

$$P(x)=|u(x)|^2=0.$$

y:

$$u(x)=0.$$