Barrera en un pozo doble infinito

Parece que tienes problemas para entender el enfoque básico. En realidad, existe una forma sistemática de resolver la ecuación de Schrödinger para potenciales constantes por partes. Tal vez esto le dará una idea básica de cómo resolver su problema:

Sea el potencial dado por

• Para el potencial anterior, la función de onda para el valor propio de la energía$E_n$es dado por

  $$\Psi_n(z) = \begin{cases} 0 & z < z_1 \\ A_1\exp(-i k_1 z) + B_1\exp(+i k_1 z) & z_1 <= z < z_2 \\ A_2\exp(-i k_2 z) + B_2\exp(+i k_2 z) & z_2 <= z < z_3 \\ ... \end{cases}$$ con$k_i = 2\pi/h \sqrt{2 m e (E_n-V_i)}$y algunas (aún por determinar) constantes$A_i$y$B_i$. Esto se verifica fácilmente enchufando. (De hecho, cada "segmento" es la solución a la ecuación de Schrödinger con potencial constante). Tenga en cuenta que el$k_i$puede ser real o imaginaria, en cuyo caso la función de onda en el segmento respectivo es sinusoidal o exponencial.

• Como requiere la física, la función de onda debe ser continua y continuamente diferenciable en todas partes. De ahí las constantes$A_i$y$B_i$debe elegirse para que esto se cumpla en cada punto donde posiblemente se viole (es decir, los puntos$z_i$).

• Lo anterior da como resultado un sistema de ecuaciones lineales para la$A_i$y$B_i$. Este sistema de ecuaciones ahora solo contiene la energía$E_n$como permaneciendo desconocido. Si lo haces correctamente, el sistema de ecuaciones contiene tantas incógnitas como ecuaciones.
• Ahora calcula el determinante del sistema de ecuaciones y lo pone a cero para encontrar el$E_n$valores para los que es solucionable. Esta es la ecuación trascendental para los valores propios. Esta ecuación tiene en tu caso infinitas soluciones discretas$E_n$(cada solución indicada por el índice en ejecución$n$). Para cada$E_n$hay conjuntos de$A_i$y$B_i$(que resuelven el sistema de ecuaciones) que te dan la función de onda. En caso de que haya más de un conjunto de linealmente independientes$A_i$y$B_i$, tiene más de una función de onda para el mismo valor propio$E_n$. En ese caso el estado es degenerado. (¡Tiene estados degenerados en su problema!).

Respecto a la simetría: Las funciones de onda no necesitan tener la misma simetría que el potencial. Por supuesto, si tiene una función de onda de solución, entonces la función de onda reflejada también debe ser una solución (si el potencial es simétrico como en su caso). Debe pertenecer al mismo valor propio de energía.

Con respecto al estado de límite único: una vez que haya calculado el$E_n$verás que hay condiciones donde$E_1 < V_0$y$E_2 > V_0$($E_2$el segundo valor propio más grande). Esto depende de la geometría, es decir, del ancho de su barrera y del pozo. En términos generales, los estados de energía tienen mayor espaciamiento, si el pozo es más pequeño. Entonces, probablemente la condición de estado de límite único se mostrará como especificación de rango para$a$y$b$.

El operador de paridad conmuta con el hamiltoniano debido a la simetría de tu potencial. Esto dice que todos los estados propios del hamiltoniano son estados propios del operador de paridad. Por lo tanto, las únicas soluciones de estado propio posibles para el sistema son aquellas con paridad par o impar. Este hecho te permitirá simplificar el proceso de aplicación de las condiciones de contorno mencionadas por Andreas, ya que puedes concluir de inmediato varias cosas con respecto a los coeficientes desconocidos.

Este problema es algo similar a la inversión de amoníaco.

En ese problema las densidades de probabilidad$\psi_n(x)^2$son similares para$n =1$y$2$, para$n = 3$y$4$etc. Como resultado, los niveles hamiltonianos$E_1$y$E_2$están muy juntos, al igual que$E_3$y$E_4$, etcétera.

Ver por ejemplo aquí y aquí .

Véase también Niveles de energía para$NH_3$.