componentes sensin\sin y coscos\cos en un problema de pozo de potencial infinito simétrico

No puedes tener una partícula libre en un pozo cuadrado infinito. Es una partícula ligada para la cual la función potencial es finita en una cierta región. Por ejemplo, si el problema es para un sistema unidimensional,$V=V_0$para$a<x<b$, y$V=\infty$en todos lados. La energía de la partícula,$E$, es mayor que$V_0$. A menudo,$V_0$se establece en cero, así que hagámoslo.

Cuando resuelve la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para la región$a<x<b$obtienes la solución que propones:

$$\psi (x) = A \sin (kx) + B \cos (kx).$$ dónde $$k=\frac{2mE}{\hbar^2}$$

Para las otras regiones, considere un potencial muy grande,$G$, dónde$G>E$, y tome el límite como$G\to \infty$. El SWE se convierte

$$\frac{\mathrm{d^2}\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}=\frac{2m}{\hbar^2}(G-E)\psi(x).$$

La solución para esto es

$$\psi(x)=Ce^{\kappa x}+De^{-\kappa x},$$ dónde $$\kappa =\frac{2m}{\hbar^2}\left(G-E\right).$$

Esta solución debe estar acotada para ambos$x\to +\infty$y$x\to -\infty$, así como$G\to \infty$. La única manera de que esto suceda es que$\psi(x\le a)=0$y$\psi(x\ge b)=0$. Que establece las condiciones de contorno para la solución de tipo sinusoidal en el$a<x<b$región porque las soluciones deben ser continuas en los límites del pozo.

Entonces, para su sistema, debido a que el potencial es simétrico con respecto a cero, sus soluciones deben tener una paridad definida con respecto a cero, lo que significa que el conjunto de soluciones tendrá$A=0$(paridad positiva) para algunos y$B=0$(paridad negativa) para otras soluciones.

Esta es una pregunta puramente matemática. Significa si las funciones de onda no triviales

$$\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)$$ existir con $$\psi(x=\pm a/2)=0$$ Esto da como resultado un sistema homogéneo de dos ecuaciones lineales para $A$y $B$ $$A \sin(ka/2) + B \cos(ka/2)=0$$ $$-A \sin(ka/2) + B \cos(ka/2)=0$$ que tiene soluciones distintas de cero para $A$y $B$solo cuando el coeficiente determinante es cero $$\sin(ka/2)\cos(ka/2)+\sin(ka/2)\cos(ka/2)=2\sin(ka/2)\cos(ka/2)=0$$ Por lo tanto, un número infinito de funciones de onda de la forma anterior con distinto de cero $A$y $B$existe para $$ka/2=\pm n\pi$$ o $$ka/2=\pm (n+1/2)\pi$$ La primera condición da las funciones seno ( $B=0$) $$\psi(x) = A \sin(kx)$$ con arbitraria $A$, el segundo las funciones coseno ( $A=0$) $$\psi(x) = B \cos(kx)$$ con arbitraria $B$. No se permiten otras soluciones excepto la solución matemática trivial. $\psi(x) = 0$.

Resolviendo a partir de la ecuación de Schrödinger, tienes, paso a paso:

$$\hat{H}\Psi = E\Psi$$ dónde $$\hat{H} = K + V = \frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$$ porque $V_0 = 0$. Por lo tanto, tenemos la ecuación diferencial $$\frac{-\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} = E\Psi$$ $$\rightarrow \frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} = -\frac{2mE}{\hbar^2}\Psi .$$ La superposición de seno y coseno que has sugerido, $\Psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$, es matemáticamente aceptable aquí, donde $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$.

Apliquemos el valor en el límite$x = a$y$x=-a$. Entonces

$$\Psi(a) = A\sin(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a) + B\cos(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a) = 0.$$ y $$\Psi(-a) = A\sin(-\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a) + B\cos(-\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a) = 0.$$ Invocando las naturalezas pares/impares de senos y cosenos, esta segunda ecuación es $$\Psi(-a) = -A\sin(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a) + B\cos(\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}a) = 0.$$ Ahora calcula $\Psi(a) + \Psi(-a) = 0$. Tu consigues eso $B = 0$. Ahora calcula $\Psi(a) - \Psi(-a)$. Tu consigues eso $A = 0$. El problema aquí es que el pozo es simétrico alrededor de cero, si fuerza sus valores iniciales para hacer $A$o $B$cero, obtendrás solo la mitad de las soluciones.