¿Cuál es la relevancia física del límite clásico para una teoría cuántica de campos?

Todo depende de la escala, es decir, de qué parámetro se toma como pequeño (grande) en su descripción efectiva del sistema.

Es habitual interpretar el parámetro semiclásico como una cantidad "equivalente" a$\hbar$, pero yendo a cero. Esto es conveniente, porque en la escala clásica de energías, la constante de Planck es comparativamente muy pequeña. De manera equivalente, podemos pensar que el parámetro semiclásico representa el inverso de la "frecuencia característica" de la onda de la partícula (y, por lo tanto, el límite clásico es el límite de frecuencias muy altas).

Otro parámetro diferente es el número de partículas$N$. Podemos pensar en tomar el límite$N\to\infty$en un dado$N$-sístema de partículas. Resulta que, matemáticamente, esto es similar a tomar el límite clásico, pero la interpretación física es bastante diferente .

Entonces, consideremos un sistema de$N$bosones libres no relativistas de masa$1/2$. Su hamiltoniano se puede escribir como

$$H_N=\sum_{j=1}^N -\hbar^2\Delta_{x_j}\; ;$$ dónde $\Delta_x$es el laplaciano, o de manera equivalente en notación de "segunda cuantización" $$H_N = -\hbar^2\int_{\mathbb{R}^3}a^*(x)\Delta_x a(x)dx\; \Bigr\rvert_{L^2_s(\mathbb{R}^{3N})}\; ;$$ donde la restricción a $L^2_s(\mathbb{R}^{3N})$significa que solo estamos considerando el sector con $N$partículas (ya que de hecho aquí se conserva el número de partículas, y no es tan útil considerar todo el espacio de Fock).

Ahora si tomas el límite$N\to\infty$, obtienes de hecho un funcional de energía (ya no es un operador, por lo tanto, una teoría de campo de dimensión infinita "clásica") del tipo

$$E(u)=-\hbar^2\int_{\mathbb{R}^3}\bar{u}(x)\Delta_x u(x)dx\; ;$$ dónde $u\in L^2(\mathbb{R}^3)$es la variable "clásica" (más correctamente, campo medio) correspondiente a la distribución valorada del operador de aniquilación $a(x)$. La interpretación es de una teoría del campo medio cuántico libre : $u$representan la función de onda efectiva de una sola partícula bajo el efecto de todas las demás partículas combinadas (que en este caso se reduce a una partícula libre, ya que no hubo interacción). Con dos cuerpos débiles (en el límite $N\to\infty$) interacción, habría obtenido la energía de Hartree funcional y la dinámica de Hartree correspondiente.

Si tomas el límite$\hbar\to 0$en cambio, obtienes$N$partículas clásicas libres , con función de energía

$$E(\vec{x},\vec{p})=\sum_{j=1}^N p_j^2\; ;$$ dónde $p_j\in\mathbb{R}^3$es el impulso de la $j$-ésima partícula.

Como puede ver, los dos límites tienen interpretaciones físicas bastante diferentes, incluso si en realidad son bastante similares matemáticamente. Observo que también se pueden combinar de forma "conmutativa"; al final obtendrías una evolución clásica de tipo Vlasov para un número infinito de partículas clásicas (tanto si lo haces antes de la$\hbar\to 0$y luego el$N\to\infty$o viceversa).

La situación es diferente si considera un QFT "verdadero", donde las partículas se pueden crear o destruir, por ejemplo, fotones en QED. Allí, el límite clásico$\hbar\to 0$produce directamente, como se esperaba, una teoría de campo clásica . Por otro lado, el campo medio no es tan significativo ya que existen estados cuánticos con un número indefinido (posiblemente muy grande) de partículas; y dado que el número no se conserva, incluso si comienzas con un número fijo de partículas, después de la evolución obtienes un estado con una probabilidad distinta de cero de tener diferentes números de partículas.