¿Por qué no existe un tensor físico de energía-momento para el campo gravitatorio?

El tensor de energía-momento se define localmente y es un tensor . En el electromagnetismo, o en la gravedad newtoniana, la forma en que formamos una densidad de energía local es básicamente elevando al cuadrado el campo.

El problema de aplicar esto a GR es que el campo gravitacional$\mathbf{g}$es cero, localmente, en un marco de referencia inercial (es decir, de caída libre), por lo que cualquier densidad de energía que formemos al elevarla al cuadrado será algo que se puede hacer que sea cero en cualquier punto dado, simplemente eligiendo entre coordenadas Pero un tensor que es cero para una elección de coordenadas es cero para cualquier elección de coordenadas, por lo que la idea completa no funciona para GR.

El otro tipo de cosas que podría intentar sería tomar derivados del campo y usarlos como ingredientes en un tensor definido localmente. Sin embargo, esto no ayuda. Hay una discusión de esto en Wald, sección 11.2. El problema básico es que si quieres que el resultado sea un tensor, las derivadas tienen que ser derivadas covariantes operando en un tensor. Pero el único tensor que tenemos disponible es la métrica, y la característica definitoria de la derivada covariante es que da cero cuando diferencia la métrica. (Sin embargo, hay una laguna en el argumento de Wald que me molesta. Al formar una cantidad tensorial por diferenciación, es suficiente, pero no necesario, que la derivada sea una derivada covariante. Cuando formamos un tensor de curvatura a partir de la métrica,

Nada de esto impide la definición de medidas no locales de la energía transportada por campos gravitatorios en una determinada región. Por eso, por ejemplo, podemos hablar de la energía que transporta una onda gravitatoria, pero tenemos que hablar de una región que es grande en comparación con una longitud de onda. Sin embargo, eso no nos permitirá definir algo que pueda incluirse en las ecuaciones de campo de Einstein, que son locales porque son una ecuación diferencial.

El tensor canónico de energía-momento es exactamente cero, debido a la ecuación de Einstein. Lo mismo vale para cualquier teoría del invariante de difeomorfismo.

Al decir ''no existe'' uno solo quiere decir que no contiene ninguna información útil.

Es cierto que no existe un tensor de energía-momento para el campo gravitatorio, sin embargo, es fácil entender por qué no y luego derivar una formulación perfectamente correcta para la conservación de la energía y los momentos del campo gravitatorio.

El grupo de invariancia de la relatividad especial es el grupo de Poincaré. La energía y el momento se combinan en relatividad especial para formar un cuadrivector que pertenece a una representación del grupo de Poincaré. La corriente de este cuatro vector es el tensor de tensión de energía-momento cuya divergencia es cero.

Cuando se pasa de la relatividad especial a la general, a menudo se supone que cualquier cantidad tensorial puede ser reemplazada por una similar con derivadas ordinarias reemplazadas por derivadas covariantes, este no es siempre el caso. En relatividad general, la simetría es el grupo de difeomorfismo, no el grupo de Poincaré o el grupo de Lorentz. Los 4 vectores en GR solo existen localmente, pero la energía y el momento no son cantidades locales, por lo que no pueden formar un 4 vector. En su lugar, deberían formar un objeto a partir de una representación del grupo Diffeomorphism.

Si su espacio-tiempo es topológicamente equivalente (difeomorfo) a$R^4$luego puede elegir cualquier sistema global de 4 coordenadas y transformar esas coordenadas usando transformaciones de Poincaré. Estos son difeomorfismos, lo que significa que puede incrustar el grupo de Poincaré en el grupo de difeomorfismos eligiendo dichas coordenadas. Por esta razón, es posible derivar un pseudotensor de energía-momento para el campo gravitatorio. Depende de las coordenadas y no es un tensor, pero funciona.

Existe un mejor enfoque conceptualmente que es covariante y funciona para cualquier topología. Esto se obtiene aplicando el primer teorema de Noether directamente a la acción de Einstein-Hilbert utilizando los generadores de simetría del grupo de difeomorfismo que son campos vectoriales contravariantes.$k^\mu$. El resultado es una corriente con una dependencia lineal del campo.$k^\mu$que se simplifica al Superpotencial de Komar usando las ecuaciones de campo

$J^{\mu} = (k^{\mu;\nu} - k^{\nu;\mu})_{;\nu}$

Usando esta formulación, la energía y los momentos pertenecen al grupo dual de la representación adjunta del difeomorfismo.

Editar: agregaré un punto más importante que a menudo se malinterpreta.

La parte de materia y radiación del tensor de energía-momento-tensión se puede derivar usando la fórmula dada en la pregunta aplicada a la parte de materia+radiación del Lagrangiano

$T_{MR}^{\mu\nu} = -2 \frac{\delta L_{MR}}{\delta g_{\mu\nu}}$

Si usa esta expresión en la acción completa como se sugiere en la referencia, da las ecuaciones de movimiento gravitacionales, que son dinámicamente cero. Es crucial comprender que esta no es la forma de derivar la corriente de Noether, que está correctamente dada por esta expresión (ver Wikipedia para más detalles )

$T_\mu{}^\nu = \left( \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol\phi_{,\nu}} \right) \cdot \boldsymbol\phi_{,\mu} - L\,\delta_\mu^\nu$

Algunas personas confunden estas dos cosas y piensan que dan la misma respuesta para el Lagrangiano completo, de modo que la corriente de Noether debe ser cero bajo las ecuaciones de campo. Este ciertamente no es el caso. Cuando la corriente de Noether se deriva correctamente, da el Superpotencial de Komar usando las ecuaciones de campo y esto no es cero . Si adopta un enfoque dependiente de las coordenadas, puede utilizar alternativamente el teorema de Noether para obtener expresiones pseudotensoras que, de nuevo, no son iguales a cero.

Qué tal esto:

Las expresiones matemáticas para la cantidad de movimiento y la energía (cinética) suelen ser lineales y cuadráticas en las primeras derivadas de las variables dinámicas. Por ejemplo, para una partícula clásica, la variable dinámica es solo la variable de trayectoria${\bf{x}}(t)$, mientras que el impulso es$m{\bf{\dot{x}}}$, y la energía cinética es$\frac{1}{2}m{\bf{\dot{x}}}$$^{2}$. Pero en la relatividad general, la primera derivada covariante de la variable del campo gravitacional, es decir, de la métrica del espacio-tiempo$g_{\mu\nu}(x)$, desaparece:$\nabla_{\lambda}{g}_{\mu\nu}(x)=0$. En consecuencia, la energía y el momento del campo gravitatorio se desvanecen. En las teorías relativistas especiales de la gravedad, por otro lado, la primera derivada de la variable del campo gravitacional no desaparece, y tampoco (por lo tanto) la energía-momento del campo. Esto sugiere que la falta de energía-momento del campo gravitatorio en la relatividad general surge porque las cantidades conservadas como la energía y el momento solo son realmente definibles en términos de espacio y tiempo, mientras que el campo en este caso es idéntico a la geometría misma del espacio-tiempo. Sin embargo, el siguiente hecho me molesta: el cambio observado en los períodos orbitales de los púlsares binarios se debe, según nos dicen, a que su energía orbital se lleva en forma de ondas gravitacionales. Pero no veo cómo puede ser esto, si el campo gravitatorio no tiene energía-momentum.

El tensor de Hilbert$T_{EH}^{\mu\nu}$representa el esfuerzo-energía-momento de la materia más los campos no gravitatorios. Es una cantidad perfectamente física .

Permítanme tomar la constante cosmológica como cero por simplicidad (también se puede absorber en el tensor de tensión-energía-momentum). Si reescribe las ecuaciones de Hilbert Einstein como

donde el superíndice$(1)$representar los términos linealizados en una serie de expansión sobre fondo plano con métrica$\eta_{\mu\nu}$, las ecuaciones se ven formalmente como las ecuaciones para un campo de spin-2 no lineal donde$t_{G}^{\mu\nu}$ representaría el tensor energía-momento para el propio campo gravitatorio . El problema es que el signo de$t_{G}^{\mu\nu}$es incorrecta y de hecho ni siquiera es un tensor. Este problema es específico de la relatividad general.

El tensor de energía-momento para el campo gravitatorio existe en la teoría de campo de la gravedad (FTG). Este es un tensor verdadero y definido positivo. Desde la perspectiva de la moderna teoría de campo de la gravedad, es fácil entender por qué la relatividad general carece de un tensor de energía-momento para el campo gravitacional. En la derivación de la relatividad general a partir de FTG, es necesario despreciar el tensor de energía-momento teórico de campo para el campo gravitacional$T_{grav}^{\mu\nu}$, como se muestra en mi propio trabajo [1] . Como consecuencia, ¡no puedes encontrar este tensor en la relatividad general!

[1] La relatividad general como aproximación geométrica a una teoría de campo de la gravedad

La respuesta simple es que no hay energía en el 'campo gravitatorio' porque en GTR, el 'campo' se ha reducido a la métrica del espacio. Como no hay energía en la métrica del espacio,$G_{μν}$está en un solo lado de la ecuación (es decir, el lado geométrico). Si la métrica contenía energía, entonces$G_{μν}$tendría que estar en ambos lados de la ecuación,$G_{μν} = T_{μν}(G_{μν})$, la$G_{μν}$estar incluido en el tensor de energía-momento$T_{μν}$y toda la ecuación se volvería circular. La energía de la métrica crearía una métrica diferente y la energía de la métrica diferente se agregaría al tensor de energía-momento, ad infinitum. Si este fuera el caso, entonces predeciría resultados diferentes de los que predeciría la versión no circular (correcta). De hecho, el éxito de la versión correcta de la ecuación demuestra que la energía no puede estar contenida en la métrica.

En la teoría newtoniana la energía gravitatoria siempre es negativa, por lo que de hecho es posible que el tensor de impulso de energía total local en cualquier punto del espacio-tiempo sea cero. Por lo tanto, la ecuación de Einstein con todo escrito en un lado simplemente muestra que la parte gravitatoria de este tensor de momento de energía total curva el espacio-tiempo.