¿Por qué (nk)(nk)\binom{n}{k} para nnn fijo no es sumable con Gosper?

El algoritmo de Gosper solo puede encontrar una fórmula para

$$S(k) = \sum_{i=0}^k \binom ni$$ si resulta que$S(k)$es en sí mismo un término hipergeométrico: si$\frac{S(k+1)}{S(k)}$es una función racional de$k$.

Sin embargo, por$k \ge n$,$\frac{S(k+1)}{S(k)} = \frac{2^n}{2^n} = 1$, por lo que si fuera una función racional, sería igual a$1$en todas partes (aparte posiblemente de lugares en los que no está definido). Eso no es lo que hace. Por lo tanto no es una función racional,$S(k)$no es un término hipergeométrico, y una serie con sumas parciales$S(k)$no es Gosper-sumable.

En general, siempre que tengamos una serie con solo un número finito de términos distintos de cero (como hacemos aquí), solo puede ser sumable por Gosper si la suma infinita de todos los términos es$0$. En ese caso, no podemos llevar a cabo el argumento anterior, porque no podemos decir "nuestra función racional es igual a$\frac{0}{0} = 1$en infinitos puntos".

Intento una prueba alternativa y escribo la suma como$\sum_{n=0}^m \binom {p}{n}$para$m,p$enteros positivos grandes arbitrarios$p\!>\!m$. Por el libro A=B denote el sumando por$t_n=\binom{p}{n}$y$r(n)=\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{p-n}{n+1}$aquí. En p75 eq.(5.2.3) se afirma suponer puede escribir

$$r(n)=\frac{a(n)c(n\!+\!1)}{b(n)c(n)}$$ dónde$a,b,c$polinomios en n y$gcd(a(n),b(n\!+\!h))\!=\!1$para todos los enteros$h\!>\!-1$y encuentro$a\!=\!p\!-\!n,b\!=\!n\!+\!1,c\!=\!1$como el orden más bajo o solo? posibilidad. De todos modos, continúa ... y según p76 requiere una solución polinomial finita x para $$a(n)x(n\!+\!1)-b(n\!-\!1)x(n)\!=\!c(n)$$ que en este caso es $$(p-n)x(n\!+\!1)-nx(n)\!=\!1$$ y si tal polinomio$x(n)$no se puede encontrar, el método de Gosper falla. Aunque no puedo probarlo rigurosamente, parece que en este caso tal polinomio no existe porque las únicas posibilidades serían$x=cst$que obviamente no satisface o bien de orden > cero en cuyo caso el coef. del término de orden más alto en lhs tendría que ser 0, lo cual tampoco es el caso, así que concluya que el método de Gosper falla, así que$\sum_{n=0}^m \binom {p}{n}$no es Gosper sumable? Para obtener más detalles, el libro está en Internet y se puede encontrar buscando 'libro A = B', por ejemplo, en google. Por cierto, según el método básico de Gosper, debe satisfacer la recurrencia de primer orden. Me parece que para la mayoría de las aplicaciones prácticas, los casos en los que funciona el método de Gosper son muy limitados.