Identidad de coeficientes binomiales generalizados

usaré$\binom{\beta}k$para denotar$C^\beta_k$.

La serie de Taylor para$(1+x)^\beta$alrededor$x=0$es

$$(1+x)^\beta=\sum_{k=0}^\infty \binom{\beta}kx^k,\qquad -1<x<1,$$ El hecho de que esto confluya en la región$-1<x<1$es fácil de mostrar usando la prueba de la razón. Sin embargo, necesitamos demostrar que esto converge cuando$x=-1$. Supongamos que podemos mostrar esto, entonces su resultado es el siguiente: $$0=0^\beta=\sum_{k=0}^\infty \binom{\beta}k(-1)^k=1-\sum_{k=1}^\infty\left|\binom{\beta}k\right|,$$ donde hemos usado$\left|\binom{\beta}k\right|=(-1)^{k-1}\binom{\beta}k$, valido para$k\ge 1$.

La serie converge para$x\in (-1,1)$, y queremos mostrar que converge en$x=-1$. Por lo tanto, basta con mostrar

$$\lim_{x\to (-1)^+}\sum_{k=0}^\infty \binom{\beta}kx^k=\sum_{k=0}^\infty \binom{\beta}k(-1)^k$$ Para hacer esto, usamos el teorema de convergencia monótona para series . Escribiendo este supuesto límite como $$1-\left(\lim_{x\to (-1)^+}\sum_{k=1}^\infty(-1)\binom{\beta}kx^{k}\right),$$ luego todos los sumandos,$(-1)\binom{\beta}kx^{k}$, son números reales positivos, y cada sumando crece como$x$enfoques$-1$(desde la derecha). Luego podemos aplicar MCT para intercambiar el límite con la suma.