Demostrar que la suma combinatoria tiende a −∞−∞-\infty

Esta pregunta surgió de una pequeña parte de un problema mayor en el que he estado trabajando recientemente.

¿Cómo puedo demostrar que:

límite norte → ∞ ∑ k = 1 norte ( − 1 ) k k ( norte k ) = − ∞

Computacionalmente, este parece ser el caso: las sumas parciales sucesivas disminuyen sin límite (aunque bastante lentamente) con el aumento norte . Sin embargo, he tenido problemas para encontrar una forma cerrada para la suma o mostrar el resultado analíticamente. ¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

WolframAlpha dice que su límite es − 1
Representando la suma por la integral
∫ 0 1 ( 1 − X ) norte − 1 X d X
es un enfoque posible. Esto dice que su integral diverge a − ∞ a velocidad logarítmica.
@Dr.SonnhardGraubner Wolframalpha "está mal".

Respuestas (2)

∑ k = 1 norte ( − 1 ) k k ( norte k ) = ∫ 0 1 ∑ k = 1 norte ( − 1 ) k ( norte k ) X k − 1 d X = ∫ 0 1 ( 1 − X ) norte − 1 X d X   = − ∫ 0 1 1 − y norte 1 − y d y = − ∫ 0 1 ∑ k = 1 norte y k − 1 d y = − ∑ k = 1 norte 1 k .

Estás tratando con la transformada binomial de la secuencia de números armónicos . La primera afirmación ya ha sido demostrada por Lord Shark, y el hecho de que H norte ≈ registro ⁡ ( norte ) sigue desde

H norte = ∑ k = 1 norte 1 k = O ( 1 ) + ∑ k = 1 norte registro ⁡ ( 1 + 1 2 k 1 − 1 2 k ) = ¡Telescópico! O ( 1 ) + registro ⁡ ( 2 norte + 1 ) .

Demostrar que la suma combinatoria tiende a −∞−∞-\infty
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