Demostrar que la suma de una secuencia combinatoria alterna es igual a cero.

Question

Demostrar que la suma de una secuencia combinatoria alterna es igual a cero.

suma
Matemáticas
combinaciones
combinatoria
secuencias y series

el acertijo

La suma de los coeficientes binomiales de $(x+y)^n$ se puede expresar de la siguiente manera:

\sum_{k = 0}^{norte} (\binom{norte}{k}) = 2^{norte}

$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n$

Se puede demostrar que este es el caso usando una prueba de doble conteo de todas las formas de elegir subconjuntos de un conjunto de $n$ elementos distintos. Se puede demostrar que la versión alterna de esta suma es igual a cero:

\sum_{k = 0}^{norte} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) = 0

$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=0$

Hay muchas pruebas de esta afirmación que yo sepa. Una versión más general de la primera suma se puede expresar de la siguiente manera:

\sum_{k = q}^{norte} (\binom{norte}{k}) (\binom{k}{q}) = 2^{norte - q} (\binom{norte}{q})

$\sum_{k=q}^n\binom{n}{k}\binom{k}{q}=2^{n-q}\binom{n}{q}$

dónde $n>q$ . La prueba de esta igualdad también implica una prueba de doble conteo de todas las formas de elegir subconjuntos de tamaño al menos $q$ de un conjunto de $n$ distintos elementos y luego seleccionando $q$ elementos en cada uno de esos subconjuntos. Note que si $q=0$ entonces esta suma se reduce a la suma original. Ahora lo que quiero probar es que la versión alterna de esta suma también es igual a cero, a saber:

\sum_{k = q}^{norte} (- 1)^{k} (\binom{norte}{k}) (\binom{k}{q}) = 0

$\sum_{k=q}^n(-1)^k\binom{n}{k}\binom{k}{q}=0$

He tratado de llevar esta suma a "telescopio" a cero o de alguna manera expresarla en términos de la serie alterna original, todo fue en vano. Cualquier ayuda para probar la identidad anterior sería muy apreciada.

JMoravitz

Tenga en cuenta que

(\binom{n}{k}) (\binom{k}{q}) = (\binom{n}{q}) (\binom{n - q}{k - q})

$\binom{n}{k}\binom{k}{q} = \binom{n}{q}\binom{n-q}{k-q}$ y puedes factorizar el

(\binom{n}{q})

$\binom{n}{q}$ fuera de la suma ya que no implica

k

$k$ .

el acertijo

Sí, me acabo de dar cuenta de que la segunda identidad proporcionada por Greg Martin se puede obtener haciendo uso de esta expresión.

robarjohn

@JMoravitz: Esta identidad merece más atención. Lo he usado muchas veces en sumas similares.

Respuestas (3)

Demostrar que la suma de una secuencia combinatoria alterna es igual a cero.

Tenga en cuenta que $\binom{n}{k}\binom{k}{q} = \binom{n}{q}\binom{n-q}{k-q}$ y puedes factorizar el $\binom{n}{q}$ fuera de la suma ya que no implica $k$ .
Sí, me acabo de dar cuenta de que la segunda identidad proporcionada por Greg Martin se puede obtener haciendo uso de esta expresión.
@JMoravitz: Esta identidad merece más atención. Lo he usado muchas veces en sumas similares.

greg martin · Answer 1

La primera suma alterna es el caso especial $x=-1$ de la identidad general

\sum_{k = 0}^{norte} X^{k} (\binom{norte}{k}) = (1 + X)^{norte}

$\sum_{k=0}^n x^k\binom{n}{k}=(1+x)^n$ (siempre y cuando supongamos

n > 0

$n>0$ ).

De manera similar, la segunda suma alterna es el caso especial $x=-1$ de la identidad general

\sum_{k = q}^{norte} X^{k} (\binom{norte}{k}) (\binom{k}{q}) = (\binom{norte}{q}) X^{q} (1 + X)^{norte - q}

$\sum_{k=q}^n x^k\binom{n}{k}\binom{k}{q} = \binom nq x^q(1+x)^{n-q}$ (siempre y cuando supongamos

n > q

$n>q$ ).

¿Sabes si la segunda identidad tiene nombre para poder ir a buscarla? Muchas gracias.
Quiero decir que está relacionado con la identidad de Vandermonde , tal vez eso ayude a buscar

alan abraham · Answer 2

Considere la suma

\sum_{k = q}^{norte} X^{k} (\binom{norte}{k}) (\binom{k}{q})

$\sum_{k=q}^n x^k\binom{n}{k}\binom{k}{q}$ Podemos usar la definición factorial de coeficientes binomiales para obtener la siguiente identidad

(\binom{norte}{k}) (\binom{k}{q})

$\binom{n}{k}\binom{k}{q}$

\frac{norte! k!}{k! q! (norte - k)! (k - q)!}

$\frac{n!k!}{k!q!(n-k)!(k-q)!}$

\frac{norte!}{q! (norte - k)! (k - q)!}

$\frac{n!}{q!(n-k)!(k-q)!}$

\frac{norte!}{q! (norte - k)! (k - q)!} \cdot \frac{(norte - q)!}{(norte - q)!}

$\frac{n!}{q!(n-k)!(k-q)!}\cdot\frac{(n-q)!}{(n-q)!}$

(\binom{norte}{q}) (\binom{norte - q}{k - q})

$\binom{n}{q}\binom{n-q}{k-q}$ Así que nuestra suma se simplifica a

(\binom{norte}{q}) \sum_{k = q}^{norte} X^{k} (\binom{norte - q}{k - q})

$\binom{n}{q}\sum_{k=q}^nx^k\binom{n-q}{k-q}$ Podemos desplazar los índices para obtener

(\binom{norte}{q}) \sum_{k = 0}^{norte - q} X^{k + q} (\binom{norte - q}{k})

$\binom{n}{q}\sum_{k=0}^{n-q}x^{k+q}\binom{n-q}{k}$

(\binom{norte}{q}) X^{q} \sum_{k = 0}^{norte - q} X^{k} (\binom{norte - q}{k})

$\binom{n}{q}x^q\sum_{k=0}^{n-q} x^k\binom{n-q}{k}$ Claramente la suma restante es

(1 + x)^{n - q}

$(1+x)^{n-q}$ por el teorema del binomio, por lo que la expresión es equivalente a

(\binom{norte}{q}) X^{q} (1 + X)^{norte - q}

$\boxed{\binom{n}{q}x^q(1+x)^{n-q}}$ podemos enchufar

x = - 1

$x=-1$ para probar la identidad deseada.

Rezha Adrián Tanuharja · Answer 3

Digamos que un equipo consta de total $k$ jugadores donde $q$ de ellos están en el once inicial. Puede elegir a los miembros primero y luego seleccionar a algunos de ellos para que estén en la alineación inicial o puede seleccionar la alineación inicial primero y luego elegir a algunos miembros para completar el equipo. Por lo tanto lo siguiente es cierto:

(\binom{norte}{k}) \cdot (\binom{k}{q}) = (\binom{norte}{q}) \cdot (\binom{norte - q}{k - q})

$\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{q}=\binom{n}{q}\cdot\binom{n-q}{k-q}$

Sustituya esto en la expresión de interés y luego obtenemos una identidad familiar:

\begin{aligned} \sum_{k = q}^{norte} {(- 1)}^{k} (\binom{norte}{k}) \cdot (\binom{k}{q}) & = {(- 1)}^{q} (\binom{norte}{q}) \sum_{k - q = 0}^{norte - q} {(- 1)}^{k - q} (\binom{norte - q}{k - q}) \\ = {(- 1)}^{q} (\binom{norte}{q}) \cdot 0 \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{k=q}^{n}{\left(-1\right)^{k}\binom{n}{k}\cdot\binom{k}{q}}&=\left(-1\right)^{q}\binom{n}{q}\sum_{k-q=0}^{n-q}{\left(-1\right)^{k-q}\binom{n-q}{k-q}}\\ \\ &= \left(-1\right)^{q}\binom{n}{q}\cdot 0\\ \\ &=0 \end{align}$

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