¿Por qué ∏nj=1σ(j)x∏j=1nσx(j)\prod^n_{j=1}\sigma^{(j)}_x conmuta con este hamiltoniano adiabático? [cerrado]

En la sección 4.1 de Quantum Computation by Adiabatic Evolution , Farhi et al proponen un algoritmo cuántico adiabático para resolver la$2$-Problema de SAT en un anillo.

El hamiltoniano adiabático se define como

$$\tilde{H} (s) = (1-s) \sum^n_{j=1}(1-\sigma^{(j)}_x) + s \sum^n_{j=1}\frac{1}{2} (1-\sigma^{(j)}_z \sigma^{(j+1)}_z )$$

Para probar la corrección del algoritmo, los autores consideran un operador que niega el valor de los bits.

$$G = \prod^n_{j=1}\sigma^{(j)}_x$$

Luego en la página 13, se menciona que$[G, \tilde{H}(s)] = 0$.

Mi pregunta:

como demuestro eso$\left[\prod^n_{j=1}\sigma^{(j)}_x, \left((1-s) \sum^n_{j=1}(1-\sigma^{(j)}_x) + s \sum^n_{j=1}\frac{1}{2} (1-\sigma^{(j)}_z \sigma^{(j+1)}_z )\right)\right] = 0$?