Validez de la ley de Ampère en términos de HHH

Si entiendo correctamente la pregunta, la respuesta se encuentra en el párrafo 6.3.3 del libro de Griffiths. Sí, hereda la discontinuidad. En este caso, aún podría usar la ecuación diferencial justo arriba y justo debajo de la discontinuidad, y tomar un camino de integración que cruce el límite le dará las condiciones de límite para el campo magnético y para el campo auxiliar. Otra referencia es esta:

https://unlcms.unl.edu/cas/physics/tsymbal/teaching/EM-913/section6-Magnetostatics.pdf

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Sí, aún puedes usar el teorema, si eres cauteloso con los dominios de integración. La integral de bucle se definirá incluso en caso de discontinuidad por lo que dije en los comentarios.

¿Es válida esta ecuación integral si se aplica a través de un límite de un material magnetizado (es decir, un extremo de la integral está dentro del cuerpo magnetizado y el otro está fuera)? ¿O hereda algún problema de su forma diferencial?

Hay una suposición con respecto a esta condición límite que a menudo se pasa por alto por varias razones, pero que a veces puede volverse problemática. Las limitaciones de esta suposición se analizan en detalle en las secciones I.5 y I.6 de Classical Electrodynamics, tercera edición de John D. Jackson (es decir, versión de portada azul). Así que empezamos con:

Por lo general, uno barre lo siguiente debajo de la alfombra, por así decirlo. Puede haber una densidad de corriente superficial,$\mathbf{K}$, que existe en una capa delgada no más gruesa que la profundidad de la piel de un electrón en la superficie del material conductor, ya sea causada por campos variables en el tiempo o simplemente presente debido a alguna fuente. En tales escenarios, el lado derecho de la Ecuación 0 cambia a:

Hay otro problema que surge en tal límite que involucra lo que Jackson llama densidades de carga superficiales verdaderamente microscópicas , es decir,$\rho\left( x \right) = \sigma \delta\left( x \right)$dónde$\sigma$es la densidad de carga superficial promedio y$\delta\left( x \right)$es la función delta de Dirac . El escenario idealizado que nos enseñan en clase es que$\sigma$existe en la superficie y que tiene espesor cero, es decir, no tiene densidad de carga en el interior de los conductores, sólo en la superficie. Sin embargo, la verdad es que$\rho\left( x \right)$se limita a dentro$\pm 2$angstroms de la ''superficie'' de la distribución iónica. Para casi todos los propósitos, existe una discontinuidad en el campo eléctrico en este límite, pero en realidad es probable que varíe en una longitud finita comparable a unos pocos anchos atómicos.

Sin embargo, el rizo no está definido en el límite, ¿está bien definida la integral de bucle? Otra forma de decirlo es: ¿puedo usar el teorema de Stokes cuando el rizo de la función no está definido en alguna región?

Depende de lo que está haciendo. ¿Está probando lo que Jackson llamaría lo microscópico o lo macroscópico ? Si es lo último, las cosas son mucho más fáciles y el lado derecho de la Ecuación 0 puede desaparecer si no hay una densidad de corriente superficial significativa,$\mathbf{K}$, en el límite. Incluso si está presente, aún se puede trabajar con la Ecuación 0 o 1, según el escenario, y obtener resultados significativos para aproximaciones macroscópicas .

Nota al margen
No volví a derivar la definición de Jackson de microscópico frente a macroscópico porque tiene 10 páginas en su libro y no es realmente necesario aquí. Básicamente implica notar la diferencia entre los promedios de conjuntos espaciales y temporales y por qué los espaciales son la opción correcta, luego muchos detalles sobre por qué XYZ está bien bajo los límites de WUV. La distinción con respecto a esta pregunta es si el OP quiere modelar adecuadamente$\mathbf{H}$a través del límite en escalas hasta la atómica o si están de acuerdo con las aproximaciones típicas a mayor escala de micrómetros y más (más o menos).

La integral de contorno a través del límite no debe considerarse como la aplicación directa del teorema de Stoke en esta área, sino con un espíritu similar al principio de continuación analítica.

El teorema de Stokes

Esta relación es aplicable cuando$\boldsymbol\nabla \times \bf{H}$existe. Por supuesto, no se sostiene cuando$\boldsymbol\nabla \times \bf{H}$diverge

En la región a través de la frontera, aunque$\boldsymbol\nabla \times \bf{H}$diverge, la integral de área falló, pero la integral de contorno sigue funcionando. Luego adoptamos la integral de contorno como la definición, extendida a tales regiones.

Por lo tanto, la relación

es una continuación analítica en la región transfronteriza, incluso la$\nabla \times \bf{H}$diverge en el mismo.

Similarmente,$\boldsymbol{\nabla}\cdot\bf{E}$diverge en$r=0$para$1/r^2$campo, pero la integral de superficie sigue trabajando allí

Por lo tanto, adoptamos el resultado de la integral de superficie para definir la fuerza de la divergencia.

Solo usa la ley de Ampère para$\mathbf B$para obtener la corriente total. Luego reste la corriente ligada del resultado para obtener la corriente libre, si es necesario.