¿Por qué necesitamos la cuantización 2nd2nd2^\text{nd} de la ecuación de Dirac?

Las soluciones de la ecuación de Dirac se interpretaron originalmente como funciones o estados de onda multidimensionales. Cada componente es similar a la buena mecánica cuántica no relativista. Esta teoría del no operador a veces se denomina teoría del espinor mecánico cuántico relativista.

Sí, la segunda cuantización es un método que, después de todo lo dicho y hecho, requiere que las soluciones se interpreten como operadores en lugar de estados. Esto se debe a que imponemos relaciones de conmutación particulares entre los jugadores de las soluciones, que simplemente conmutarían si fueran estados/funciones de onda. Esta nueva teoría se llama QFT (por medio de partículas de espín).

Una desventaja de la teoría del no operador es que algunos estados tienen energía negativa. Aparentemente eso es malo. La teoría QFT valorada por operadores, por otro lado, tiene todas las energías positivas.

Fuente: si no le importa pagar por los libros de texto, este es particularmente amigable para el autoaprendizaje.

Tengo entendido que la ecuación original de Dirac solo puede describir el estado de un solo fermión relativista, mientras que la segunda versión cuantificada se puede usar para definir estados de múltiples fermiones. Véase, por ejemplo, la sección 4 del documento en el siguiente enlace:

http://www.cond-mat.de/events/correl13/manuscripts/koch.pdf

Dicho esto, cuando los físicos de partículas hablan de una segunda cuantización, normalmente se refieren a la cuantización de un campo clásico. En electrodinámica clásica, el campo electromagnético determina las fuerzas ejercidas sobre una partícula cargada, como un electrón. En la mecánica cuántica ordinaria, el electrón está cuantizado, se describe mediante un estado o función de onda, mientras que el campo electromagnético no lo está, sigue siendo solo una función ordinaria del espacio y el tiempo. En este contexto, la segunda cuantización implica promover el campo electromagnético a un operador. Para hacer esto, también se debe incorporar la relatividad especial en la teoría. Para obtener más detalles, consulte el libro de Peskin y Schroeder sobre la teoría cuántica de campos.

La ecuación de Dirac es una ecuación de onda relativista de un$1/2$girar. Sorprendentemente, esta ecuación nos da una norma definida positiva$\psi^\dagger\psi$, cuándo$\psi$es un bi-espinor:

Él$\psi_\pm$es un$\pm$espinor.

Sabemos que (Relatividad Especial)+(Mecánica Cuántica) , hace incompatible la densidad de partículas y el número total de partículas. Si estamos probando una longitud cercana a la longitud Compton del electrón, somos sensibles a este efecto.

La ecuación de Dirac solo puede sondear$L\sim\alpha^2\lambda_c$, dando correcciones$\Delta E\sim\alpha^4mc^2$. Después de eso, la ecuación falla. En realidad, la ecuación de Dirac funciona en términos de dos espinores que no se pueden dividir en presencia de un potencial de cuatro vectores.$A_\mu$. En caso libre, podemos dividir por una transformación exacta de Foldy Wouthuysen . En presencia del potencial, esta transformación solo se puede hacer aproximadamente, pero solo es interesante hasta que$L\sim\alpha^3\lambda_c$, cuando la ecuación de Dirac empieza a ser incorrecta. Esta transformación nos ayuda a encontrar dos ecuaciones, cada una para cada espinor, promediando la producción de pares (promedio en$L\sim\alpha^3\lambda_c$). En el caso del átomo de hidrógeno, solo una ecuación tiene estados ligados. Esta ecuación describe el electrón físico (dos cargas positivas, el protón y el positrón no forman un estado ligado).

La ecuación de Dirac describe la incompatibilidad de número y densidad de partículas, pero toma el campo EM como clásico y desprecia las interacciones de los pares de electrones-positrones. Solo la interferencia de positrones/electrones se contabiliza como efecto relativista cuántico. Tenga en cuenta que lo que en realidad es definido positivo es$\psi^\dagger\psi=\psi_+^\dagger\psi_++\psi_-^\dagger\psi_-=\psi_{electron}^\dagger\psi_{electron}-\psi_{positron}^\dagger\psi_{positron}$

Resolver la Ecuación de Dirac exactamente es simple para un potencial central. En términos de QFT , la forma correcta de hacer mecánica cuántica relativista, la solución de la ecuación de Dirac nos brinda una buena base de operadores de creación y aniquilación: creación y aniquilación de estados propios de la ecuación de Dirac. Los cálculos de QED se pueden tomar en términos de perturbaciones en el número de bucles en esta base.

Cuando estaba en el último año de la escuela de posgrado en 1963, tomé un curso semestral sobre teoría cuántica de campos, operadores de creación y aniquilación en abundancia, y muchos teoremas. Estaba tan desconcertado como tú, el libro era Bogoliubov y nos habíamos convertido en expertos en la manipulación de operadores de creación y aniquilación. Luego asistí a una escuela de verano del CERN y la conferencia de M.Veltman enfocó todo, por qué andábamos con operadores de creación y aniquilación.

"Interacciones débiles de partículas no extrañas" resolvió el acertijo. Se trataba de calcular secciones transversales. Hurra, había física en la locura :).

Así que esta pequeña historia mía es para ilustrar que para calcular secciones transversales antes de la llegada de los diagramas de Feynman y la correspondiente segunda cuantización, configurar las integrales para calcular secciones transversales y compararlas con el experimento fue un proceso largo. (En un taller, mucho más tarde en 1980, escuché del propio Feynman cómo su uso de los diagramas de Feynman le permitió reducir el tiempo en los cálculos que asombraron a sus colegas, durante el proyecto manhattan).

La física de partículas se trata de secciones transversales, todos los modelos teóricos exitosos deben terminar en números que proporcionen secciones transversales y tiempos de vida, de eso se trata la física de partículas.

¿Por qué necesitamos esta segunda cuantización de la ecuación de Dirac?

Segunda cuantificación + diagramas de Feynman vida simplificada.

¿Qué experimentos no pueden ser descritos por la ecuación original de Dirac?

Las soluciones de la ecuación de Dirac, las funciones de onda, se utilizan como base sobre la cual se escriben y calculan las integrales prescritas por los diagramas de Feynman. La segunda cuantización es un nivel meta que simplifica los cálculos, en opinión de mi experimentador.

Aquí está mi propia pequeña interpretación acerca de por qué el campo de Dirac debe ser "cuantificado" (es decir, ser un operador en lugar de una función de onda ordinaria), sin toda la charla sobre el principio de Pauli, los operadores de aniquilación/creación y todas las demás cosas extrañas de QFT. Para mí, es suficiente para entender por qué$\Psi$abajo (no$\psi$) no es una amplitud de probabilidad.

En una configuración relativista, todas las partículas y campos fundamentales de la naturaleza deberían ser representaciones irreducibles del grupo de Lorentz . Así que podríamos tener campos escalares , vectoriales , tensoriales y también espinores .

Dado que cualquier campo debe propagarse en el espacio vacío sin violar la causalidad, el campo debe obedecer a una ecuación diferencial en forma de onda (ecuación de Klein-Gordon si el campo tiene inercia;$m \ne 0$). En el caso del campo electromagnético$F^{ab}$(o el campo vectorial$A^a$) propagándose en el espacio vacío, obedece a las ecuaciones de Maxwell, que incluye la ecuación de onda (con$m = 0$) :

Ahora, todos los campos son en principio cantidades observables, o podrían tener efectos observables (si no, ¡no es física !). El campo electromagnético no se puede observar directamente como tal, pero podría tener efectos sobre las cargas eléctricas (lo que podría revelar la presencia del campo electromagnético). En principio, el tensor de energía-momento$T^{ab}$del campo EM también es observable/medible (ya que se trata de energía , momento , momento angular , etc.). Entonces el$A^a$El campo debe ser tratado como un observable en la mecánica cuántica, que impone que todos los observables sean representados por operadores hermitianos.

Es lo mismo para el campo espinoso.$\Psi$. No es directamente observable como tal, pero podría reaccionar a un campo electromagnético y también podría generar algún campo EM (si$\Psi$tiene carga). Su impulso energético$T^{ab}$también es observable, en principio (energía, cantidad de movimiento, cantidad de movimiento angular, etc.). Entonces, en Mecánica Cuántica, debería estar representado por un operador.

En un caso general, tienes un campo físico$\Phi$(índices suprimidos) propagándose en el espacio-tiempo como una representación irreducible del grupo de Lorentz, obedeciendo así a alguna ecuación diferencial parcial de la forma general

La "segunda cuantificación" es realmente un error histórico, hecho en una época donde había mucha confusión acerca de los campos y partículas de la Naturaleza. Sucedió que primero descubrimos el electrón como una partícula (es decir, interactuando con dispositivos de medición en el laboratorio como "partículas"), y "redescubrimos" un poco más tarde que en realidad era solo otro campo que se propagaba en el espacio-tiempo. ¡El electrón no es una partícula puntual! Si lo piensas un poco, las partículas fundamentales en forma de puntos simplemente no tienen ningún sentido físico.

No hay partículas reales por ahí. Solo campos matemáticos (es decir, representaciones del Grupo de Lorentz limitadas por el principio de causalidad) que se propagan como ondas e interactúan con otros campos como partículas .

La ecuación original de Dirac no tiene en cuenta el principio de exclusión de Pauli ( https://en.wikipedia.org/wiki/Pauli_exclusion_principle ), la segunda cuantización sí.

Cuando cuantificamos el campo electromagnético, el enfoque canónico implica expresar el campo como un conjunto de osciladores cuánticos en términos de los campos clásicos E y B. Esto nos da una imagen del campo electromagnético como una función de onda en base a los estados de Fock que describe los números de ocupación de fotones en diferentes modos disponibles en el campo.

La segunda cuantización aplicada a otras ecuaciones como el campo de Klein-Gordon o Dirac básicamente trata estos campos de la misma manera que el campo electromagnético. Esto significa que tratamos la ecuación pura de Dirac técnicamente como un campo de electrones clásico, donde escribimos el campo como un conjunto de osciladores cuánticos en cada modo de campo.

A diferencia del caso del campo electromagnético o de los campos KG, la 2ª cuantización del campo de Dirac debe hacerse con álgebra anticonmutadora, para preservar las propiedades de antisimetría del principio de exclusión de Pauli.