¿Podemos "trivializar" la equivalencia entre la cuantización canónica de campos y la segunda cuantización de partículas?

La supuesta equivalencia entre la cuantización canónica y la representación del espacio de Fock es sólo un caso particular.

El formalismo canónico proporciona solo corchetes canónicos de Poisson. El primer paso según los axiomas de Dirac es reemplazar los corchetes de Poisson por conmutadores y dado que estos conmutadores satisfacen la identidad de Jacobi, pueden representarse mediante operadores lineales en un espacio de Hilbert.

La cuantización canónica no especifica el espacio de Hilbert.

Encontrar un espacio de Hilbert donde los operadores actúen linealmente y satisfagan las relaciones de conmutación es un problema en la teoría de la representación. Esta tarea se conoce como "cuantización" en la literatura moderna.

El problema es que en el caso de campos libres, este problema no tiene solución única (salvo una transformación unitaria en el espacio de Hilbert). Esta situación se denomina existencia de cuantizaciones no equivalentes o representaciones no equivalentes. La representación de Fock es sólo un caso especial. Algunas de las cuantizaciones se denominan "no Fock", porque el espacio de Hilbert no tiene una estructura de espacio de Fock subyacente (es decir, no se puede interpretar como partículas libres), pero incluso puede haber representaciones de Fock equivalentes.

Antes de continuar, déjame decirte que las cuantizaciones no equivalentes pueden ser las áreas donde puede surgir una "nueva física" porque pueden corresponder a diferentes sistemas cuánticos.

Además, permítanme enfatizar que la situación es completamente diferente en el caso de dimensión finita. Esto se debe a que, debido al teorema de Stone-von Neumann , cualquier representación de las relaciones canónicas de conmutación en la mecánica cuántica es unitariamente equivalente a la representación del oscilador armónico. Por lo tanto, el problema de las representaciones equivalentes de las relaciones de conmutación canónicas ocurre solo debido a la dimensionalidad infinita.

Para ver algunos ejemplos de cuantizaciones equivalentes de las relaciones de conmutación canónicas de un campo escalar en un espacio-tiempo de Minkowski, consulte el siguiente artículopor: Moschella y Schaeffer. En este artículo construyen representaciones no equivalentes por medio de la transformación de Bogoliubov que cambia el vacío y también presentan una representación de termocampo. En todas estas representaciones los operadores canónicos se representan en un espacio de Hilbert y se satisfacen las relaciones canónicas de conmutación. Los casos de vacío desplazado de Bogoliubov corresponden a simetrías rotas de Poincaré. Se puede argumentar que estas soluciones no son físicas, pero el argumento de la simetría no será suficiente en el caso de la cuantización en una variedad no homogénea curva general. En este caso no tendremos un argumento "físico" para descartar algunas de las representaciones no equivalentes.

Los fenómenos de cuantizaciones no equivalentes pueden estar presentes incluso en el caso de un número finito de grados de libertad en espacios de fase no planos.

Dicho todo esto, no obstante quiero darte una respuesta más directa a tu pregunta (aunque no será única por las razones enumeradas anteriormente). Según entiendo la pregunta, se puede afirmar que existe un algoritmo para pasar del espacio de Hilbert de una sola partícula al espacio de Fock. Este algoritmo se puede resumir mediante la factorización de Fock:

Dónde$\mathcal{h}$es el espacio de Hilbert de una sola partícula y$\mathcal{F}$es el espacio de Fock. Como se dijo antes, la cuantización canónica nos proporciona solo las relaciones canónicas de conmutación:

En esta etapa solo tenemos un ($C^{*}$)álgebra de operadores. La pregunta inversa sobre la existencia de un algoritmo que parte de las relaciones canónicas de conmutación y termina en el espacio de Fock (o de manera equivalente, la respuesta a la pregunta ¿dónde está el espacio de Hilbert?) la proporciona la construcción Gelfand-Naimark-Segal (GNS) , que proporciona representaciones de$C^{*}$álgebras en términos de operadores acotados en un espacio de Hilbert.

La construcción del GNS parte de un estado$\omega$que es un funcional lineal positivo en el álgebra$\mathcal{A}$(en nuestro caso el álgebra es la terminación de todos los productos posibles de cualquier operador de creación y aniquilación de números).

El segundo paso es elegir todo el álgebra como espacio lineal inicial.$\mathcal{A}$. En general, habrá elementos nulos que satisfagan:

El espacio de Hilbert se obtiene identificando elementos que difieren en un vector nulo:

($\mathcal{N}$es el espacio de vectores nulos).

El producto interior en este espacio de Hilbert viene dado por:

Se puede probar que la construcción GNS es una representación cíclica donde el espacio de Hilbert está dado por la acción de los operadores en un "vector de vacío" cíclico. La construcción GNS da todas las representaciones no equivalentes de un determinado$C^{*}$álgebra (por operadores acotados). En el caso de un campo escalar libre, la elección de un estado gaussiano definido por su función característica:

Dónde$z_{\mathbf{k}}$son indeterminados que se pueden diferenciar para obtener el resultado para cualquier producto de operadores.

Los vectores nulos de esta construcción serán solo combinaciones que se desvanecen debido a las relaciones canónicas de conmutación (como$a_1 a_2 - a_2 a_1$). Así esta elección cuenta con las estadísticas de Bose. También los subespacios generados por un producto de un número dado de operadores de creación serán los subespacios numéricos.

El estado de esta construcción específica se denota por:$\omega_{\mathcal{F}}$, ya que produce el espacio de Fock habitual. Diferentes opciones de estado pueden dar como resultado cuantizaciones no equivalentes.

Para mí, la equivalencia parece obvia. Trataré de explicar mi línea de pensamiento.

En ambos enfoques se comienza con el grupo de Poincaré.

Ahora, en el primer enfoque, comienza construyendo un espacio de estados de Fock con el único requisito adicional de causalidad. El resultado es que su espacio es creado por operadores dependientes del espacio-tiempo (ya que, de lo contrario, no se podría imponer la causalidad), es decir, campos con valores de operador. Estos campos obedecen a relaciones de conmutación canónicas (creación de espacio de Fock) covariantes (requisito).

En el segundo enfoque, comienza construyendo campos a partir de las representaciones de Poincaré y luego cuantícelos con el requisito adicional de causalidad. Nuevamente, usted impone relaciones de conmutación canónicas (creación de espacio de Fock) covariantes (requisitos) en sus campos.

La diferencia está en la perspectiva. Mientras que en el primer enfoque, considera que sus estados de partículas son más fundamentales, buscando un operador que cree su espacio físico, el segundo enfoque ve los campos como el objeto de importancia, creando los estados de múltiples partículas "en el camino".

Aquí me gustaría dar un intento de respuesta a esta pregunta fundamental, a través del siguiente ejemplo simple:

Considere un cristal que contiene$m$átomos que se localizan alrededor de los sitios de red, y cada átomo en el sitio$i$tiene campos clásicos$(x_i,p_i)$(posición y momento), después de la cuantificación canónica (primera cuantificación), los campos clásicos$(x_i,p_i)$es ascendido a operadores$(\hat{x}_i,\hat{p}_i)$con relaciones de conmutación$[\hat{x}_i,\hat{p}_j]=i\hbar \delta_{ij}$. Además, introduzca los operadores de escalera$a_i=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}(\hat{x}_i+i\hat{p}_i)$y ellos satisfacen$[a_i,a_j^\dagger]=\delta_{ij}$. Ahora es instructivo usar los estados propios simultáneos$\mid n_1,\cdots,n_m >_c$de los operadores$\hat{n}_1,\cdots ,\hat{n}_1$(dónde$\hat{n}_i=a_i^\dagger a_i$) como base del espacio cristalino de Hilbert$V_c$, dónde$\hat{n}_i \mid n_1,\cdots,n_m >_c=n_i \mid n_1,\cdots,n_m >_c,i=1,2,\cdots,m$.

Por otro lado, considere la segunda cuantización de partículas bosónicas y sea$b_i,b_i^\dagger$ser los operadores de aniquilación y creación, el índice$i$representa el$i$el estado de bosón único y$i$corre de$1$a$m$. Los operadores de números de partículas se definen como$\hat{n}_i=b_i^\dagger b_i$, y la base de ocupación del espacio de bosones de Hilbert$V_b$es$\mid n_1,\cdots,n_m >_b$dónde$\hat{n}_i \mid n_1,\cdots,n_m >_b=n_i \mid n_1,\cdots,n_m >_b,i=1,2,\cdots,m$.

Finalmente, definamos un mapa entre el espacio cristalino de Hilbert$V_c$y el bosón espacio de Hilbert$V_b$haciendo$\mid n_1,\cdots,n_m >_c= \mid n_1,\cdots,n_m >_b$, que hace una equivalencia entre átomos y estados bosónicos individuales . Y creo que esta es solo la equivalencia entre la cuantización canónica de campos clásicos$(x_i,p_i)$y segunda cuantización de partículas bosónicas$b_i,b_i^\dagger$como lo mencionaste.

Por lo que entiendo, simplemente no puede lidiar con ninguna física no perturbativa si intenta cuantificar en segundo lugar los estados de una sola partícula, porque estas son excitaciones perturbativas a priori en torno al estado de vacío. Echas de menos, por ejemplo, instantons , efectos topológicos... Intenta hacer QCD de esta manera y mira hasta dónde llegas.

Debe pensar en la importancia fundamental del oscilador armónico, en el ámbito de los campos relativistas.

Limitarnos aquí, por simplicidad, a un campo relativista libre de bosónicos sin masa escalar real$\Phi(x,t)$, la ecuación es :

$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta) \Phi(x,t)=0$

Por transformada de Fourier en coordenadas espaciales, tienes:

$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} + k^2) \tilde \Phi(k,t)=0$

dónde$\Phi(k,t)$es la transformada espacial de Fourier de \Phi(x,t). Podríamos haber usado la notación$\tilde \Phi_k(t)$, con$(\frac{\partial^2}{\partial t^2} + k^2) \tilde \Phi_k(t)=0$.

Esto muestra que, cuando pensamos en un campo relativista, es, de hecho (al menos para campos bosónicos), una colección de osciladores armónicos independientes .$\tilde \Phi_k(t)$. los$2$las definiciones son totalmente equivalentes, y ninguna es mejor que la otra.

Ahora, cuantizando el campo$\Phi(x,t)$, es lo mismo que cuantificar la colección de osciladores armónicos$\tilde \Phi_k(t)$. Ninguna cuantización es mejor que la otra. Sabemos cómo hacerlo, escribiendo:

$\tilde \Phi_k(t) \sim a_k e^{-i|k| t} + a_k^+ e^{+i|k| t}$

con$[a_k, a_k^+]=1$(aquí, hicimos una correspondencia ingenua ignorando que$k$es un índice continuo)

Siendo los osciladores armónicos independientes, y$k$siendo un índice continuo, esto naturalmente se extiende a las relaciones conocidas$[a_k, a_k'^+]=\delta(k-k')$