¿Cómo es el campo de Dirac clásico antes de la segunda cuantización?

Solo para ponerlo en orden, los campos se llaman clásicos no porque sean directamente medibles (el potencial del vector electromagnético es clásico pero tampoco medible) sino porque son solo campos (número c), como

$$\psi: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb C \qquad \text{or equivalently} \qquad \psi(x) \in \mathbb C \quad \text{for} \quad x \in \mathbb R^n,$$ en oposición a los campos cuánticos que son valorados por el operador $$\hat \psi(x): \mathcal F \rightarrow \mathcal F$$ por cada punto$x \in \mathbb R^n$en el espacio donde$\mathcal F$es el espacio de Fock en el que actúan.

En otras palabras, la función de onda clásica (Schrödinger, Dirac)$\psi$es un elemento de un espacio de Hilbert$\mathcal H$sí mismo,$\psi \in \mathcal H$, mientras que un campo cuántico (Schrödinger, Dirac)$\hat \psi(x)$es un operador en el espacio Fock$\mathcal F$(que es matemáticamente también un espacio de Hilbert).

Con respecto a la primera y segunda cuantización , en la mecánica hamiltoniana se postula que los corchetes de Poisson para la posición y el momento se convierten en conmutadores de los operadores de posición y momento

$$\{q^i, p_j\} = \delta^i_j \qquad \rightarrow \qquad [Q^i, P_j] = i\, \hbar\, \delta^i_j$$ mientras que en la teoría de campos se postula que los corchetes de Poisson del campo y su cantidad de movimiento canónica se convierten en los conmutadores del campo y sus operadores de cantidad de movimiento $$\{\phi(x), \pi(y)\} = \delta(x-y) \qquad \rightarrow \qquad [\Phi(x), \Pi(y)] = i\, \hbar\, \delta(x-y).$$ En ambos casos se obtiene un álgebra de operadores y se buscan sus representaciones. En el primer caso es el espacio de Hilbert$\mathcal H$, en el segundo el espacio Fock$\mathcal F$. Elementos de$\mathcal H$son (Schrödinger, Dirac) primeras funciones de onda cuantificadas$\psi$que, tratados como campos clásicos, se cuantifican en segundo lugar para convertirse en operadores en el espacio de Fock$\mathcal F$.

Personalmente, prefiero los nombres mecánica cuántica y teoría cuántica de campos como versiones cuantizadas de la mecánica clásica y la teoría clásica de campos, respectivamente.

Cualquiera de estas ecuaciones de onda - Maxwell, Schrödinger, Dirac, Squared Dirac, Pauli, Klein-Gordon - son ecuaciones de campo clásicas. Sus soluciones son campos clásicos que se comportan como representaciones del grupo de Poincaré. Es la interpretación de estos campos clásicos lo que hace que la teoría sea 'cuántica'. Por ejemplo, interpreto el potencial electromagnético como dando el valor esperado del número de fotones, energía, etc. Así es como trato el ruido de los disparos de fotones.

Un campo cuántico es una combinación lineal de operadores de creación/aniquilación de osciladores armónicos, donde los coeficientes se toman de una función de onda.

Supongo que no hay sabiduría (¡al menos física!) en las respuestas dadas. No me importa la interpretación matemática de una cantidad para llamarla mecánica clásica o cuántica, ¡pero estoy bastante seguro de que la física determina la diferencia entre la mecánica clásica y la cuántica!

Las respuestas como decir, los campos cuánticos son distribuciones valoradas por operadores y las clásicas son números c son simplemente argumentos y no significan nada físicamente significativo.

Su pregunta es bastante sabia debido a su punto de vista muy honesto y también tengo una respuesta honesta para ella:

Ecuaciones hamiltonianas clásicas para sistemas cuánticos

Aquí puede ver cómo se puede construir una teoría clásica a partir del hamiltoniano mecánico cuántico.

Para mí, ¡así es precisamente como se llega a una teoría de campos clásica para los espinores de Dirac! Puede elegir que su base propia sea la posición o el impulso o lo que desee y luego establecer el lagrangiano de Dirac de manera bastante formal.

Supongo que todo el mundo está de acuerdo en que la raíz compleja de una distribución de probabilidad es sin duda un campo clásico, ya que asigna un número (complejo, real, vectorial, etc.) a cada punto del espacio. Esta es la definición misma de un campo.

De esta manera, se llega a un sistema clásico con un número infinito de grados de libertad (osciladores "clásicos" adjuntos a cada punto del espacio) que se pueden cuantificar en el siguiente paso (lo que significa que los osciladores (valores de campo) ya no se considerarán clásicos ). Llena el espacio entre la primera y la segunda cuantificación, aunque personalmente creo que siempre se está cuantificando un sistema clásico en cada nivel, por lo que no tiene sentido decir que se realiza una segunda cuantificación que tiene connotaciones como cuantificar un sistema ya cuantificado, ¡lo cual no es el caso!

No hay necesidad de matemáticas en la medida en que haya interpretaciones simples físicamente significativas :)