¿Por qué mi manzana no pesa 500 toneladas?

Question

¿Por qué mi manzana no pesa 500 toneladas?

Tiempo4Té

Relacionado con esta pregunta: ¿Qué es realmente la energía potencial?

$E=mc^2$ - la energía es igual a la masa. Entonces, si un objeto tiene energía potencial gravitatoria en relación con otro objeto, debería tener masa adicional para representar esa energía adicional.

Entonces, si tengo una manzana en la mano, debería tener una gran cantidad de energía potencial gravitacional en relación con un agujero negro en el borde del universo observable. Hice un cálculo rápido de cuánto sería esta energía potencial gravitatoria (usando la Ley de Gravitación de Newton) y resultó ser el equivalente a alrededor de 500 toneladas (¡y eso es solo para un agujero negro! ) .

Entonces, ¿por qué mi manzana no pesa mucho más de lo que parece?

EDITAR: Aquí está mi cálculo del GPE:

Suposiciones:

la manzana tiene masa $m_a=0.3 kg$
El agujero negro tiene una masa igual a 1000 masas solares, $m_b=2\times10^{33} kg$
La distancia entre la manzana y el agujero negro es de 60 mil millones de años luz

Obviamente $GPE=mgh$ no se puede usar, porque la aceleración gravitacional no es constante y varía con la distancia, por lo que debe integrarse. Usé la Ley de Gravitación de Newton para proporcionar la aceleración:

F = \frac{GRAMO {metro}_{1} {metro}_{2}}{h^{2}}

$F=\frac{G{m_1}{m_2}}{h^2}$

Un pequeño cambio de altura produce un pequeño cambio de energía, que se puede utilizar para integrar:

\begin{array}{rcl} d mi & = & F d h \\ \int_{0}^{mi} d mi & = & GRAMO {metro}_{a} {metro}_{b} \int_{1}^{R} \frac{1}{h^{2}} d h \end{array}

$\begin{eqnarray*} \delta E&=&F \delta h\\ \int_0^EdE&=&G{m_a}{m_b}\int_1^R\frac{1}{h^2}dh \end{eqnarray*}$

Estoy integrando la fuerza a partir de 1 m del centro del agujero negro, a medida que la fuerza llega al infinito en $h=0$ . Es un poco crudo, pero debería proporcionar una estimación conservadora.

\begin{array}{rcl} mi & = & GRAMO {metro}_{a} {metro}_{b} (1 - \frac{1}{R}) \\ mi & \approx & GRAMO {metro}_{a} {metro}_{b} (R >> 1) \\ GRAMO & = & 6.673 \times 10^{- 11} norte (\frac{metro}{k gramo})^{2} \\ GRAMO {metro}_{a} {metro}_{b} & = & 4 \times 10^{22} norte metro \\ mi & = & metro C^{2} \\ Δ metro & = & \frac{4 \times 10^{22}}{(3 \times 10^{8})^{2}} \\ \approx & 444, 000 k gramo \end{array}

$\begin{eqnarray*} E&=&G{m_a}{m_b}(1-\frac{1}{R})\\ E&\approx& G{m_a}{m_b}\;\;\;\;\;\;(R>>1)\\ G&=&6.673\times 10^{-11}\;\;N(\frac{m}{kg})^2\\ G{m_a}{m_b}&=&4\times 10^{22}\;\;Nm\\ E&=&mc^2\\ \Delta m&=&\frac{4\times 10^{22}}{(3\times 10^8)^2}\\ &\approx&444,000\;\;kg \end{eqnarray*}$

Entonces, un poco menos de 500 toneladas, ¡pero todavía bastante grande!

kyle kanos

¿ Porque es más grande que su radio de Schwarzschild ?

ryan unger

Muestra el cálculo que hiciste. Además, debe tenerse en cuenta que la energía potencial no aumenta la masa de un componente particular del sistema, sino del sistema como un todo.

ana v

La energía potencial no está en la E de la fórmula anterior, la masa relativista depende de la velocidad en.wikipedia.org/wiki/… . Un agujero negro cuenta la masa en reposo, es decir, la masa del sistema en reposo,

Tiempo4Té

@Kyle Kanos: Voy a reformular la pregunta: creo que el 'agujero negro' en el título me distrae de mi punto clave.

ana v

La tierra tiene energía potencial frente al sol. Si cayera al sol, convertiría el potencial en energía cinética y luego aumentaría su masa. Potencial significa lo que dice la palabra, "posible".

Tiempo4Té

@anna v: entonces, ¿la energía potencial gravitacional no se incluiría en la masa de un objeto? Pero pensé

E = m c^{2}

$E=mc^2$ se aplica a todas las formas de energía, incluida la energía potencial?

Jinawee

E = m c^{2}

$E=mc^2$ se aplica a partículas libres (sin energía potencial) en reposo. Vea mi pregunta: physics.stackexchange.com/questions/69080/… .

ana v

mira la fórmula en el enlace wiki

cosas

Calcule la energía potencial de una manzana de 1 kg en relación con un horizonte de eventos de cualquier agujero negro. El resultado debe ser 1 kg de energía potencial. La ley de la gravedad de Newton debería ser buena para la tarea.

Tiempo4Té

@user7027: Publicaré mi cálculo en un momento (estoy en el trabajo en este momento). Sin embargo, kg no es una unidad de energía. GPE también depende de la distancia desde el agujero negro, que es enorme.

proyecto de ley n

@Time4Tea Espero que no estés usando

m g h

$mgh$ en su cálculo de GPE. Eso estaría mal.

Tiempo4Té

@Bill N: No, estoy integrando a distancia usando la Ley de Gravitación de Newton.

fénix87

Esperaba leer algo como "la energía potencial se define hasta una constante aditiva arbitraria, por lo que no tiene ningún sentido considerarla como parte de la masa de un cuerpo" aquí en los comentarios.

Tiempo4Té

@Phoenix87: ¿Podría dar más detalles sobre eso?

fénix87

Tomemos, por ejemplo, la energía potencial gravitacional. Tienes la libertad de decidir dónde la energía potencial es cero, y para sistemas confinados asumes que es así en el infinito.

Respuestas (9)

¿Por qué mi manzana no pesa 500 toneladas?

Muestra el cálculo que hiciste. Además, debe tenerse en cuenta que la energía potencial no aumenta la masa de un componente particular del sistema, sino del sistema como un todo.
La energía potencial no está en la E de la fórmula anterior, la masa relativista depende de la velocidad en.wikipedia.org/wiki/… . Un agujero negro cuenta la masa en reposo, es decir, la masa del sistema en reposo,
@Kyle Kanos: Voy a reformular la pregunta: creo que el 'agujero negro' en el título me distrae de mi punto clave.
La tierra tiene energía potencial frente al sol. Si cayera al sol, convertiría el potencial en energía cinética y luego aumentaría su masa. Potencial significa lo que dice la palabra, "posible".
@anna v: entonces, ¿la energía potencial gravitacional no se incluiría en la masa de un objeto? Pero pensé $E=mc^2$ se aplica a todas las formas de energía, incluida la energía potencial?
$E=mc^2$ se aplica a partículas libres (sin energía potencial) en reposo. Vea mi pregunta: physics.stackexchange.com/questions/69080/… .
Calcule la energía potencial de una manzana de 1 kg en relación con un horizonte de eventos de cualquier agujero negro. El resultado debe ser 1 kg de energía potencial. La ley de la gravedad de Newton debería ser buena para la tarea.
@user7027: Publicaré mi cálculo en un momento (estoy en el trabajo en este momento). Sin embargo, kg no es una unidad de energía. GPE también depende de la distancia desde el agujero negro, que es enorme.
@Time4Tea Espero que no estés usando $mgh$ en su cálculo de GPE. Eso estaría mal.
@Bill N: No, estoy integrando a distancia usando la Ley de Gravitación de Newton.
Esperaba leer algo como "la energía potencial se define hasta una constante aditiva arbitraria, por lo que no tiene ningún sentido considerarla como parte de la masa de un cuerpo" aquí en los comentarios.
Tomemos, por ejemplo, la energía potencial gravitacional. Tienes la libertad de decidir dónde la energía potencial es cero, y para sistemas confinados asumes que es así en el infinito.

anota esto · Answer 1

La respuesta corta, como señala Kyle en un comentario, es que su manzana es más grande que su radio de Schwarzschild.

Sin embargo, la respuesta más larga es que la energía potencial gravitacional es una propiedad del sistema como un todo, no de un objeto individual en el sistema. Por lo tanto, no importa que su manzana tenga mucha energía potencial gravitatoria en relación con algún objeto (la Tierra, el Sol, un agujero negro, etc.) a menos que esté preguntando por qué todo el sistema colapsa en un agujero negro (es decir, por qué no que el sistema tierra/sol colapse en un agujero negro). Entonces, si tiene un sistema con una gran cantidad de energía potencial gravitacional, aún debe pensar en la escala del sistema. Si dos objetos pesados juntos tienen una gran cantidad de energía potencial gravitatoria, pero están muy separados, entonces el sistema como un todo (los dos objetos) será mucho más grande que su radio de Schwarzschild.

Editar: respondí esta pregunta cuando el título era "¿Por qué mi manzana no colapsa en un agujero negro?" Sin embargo, la respuesta sigue siendo relevante. La energía potencial gravitatoria es una propiedad del sistema como un todo, no simplemente una partícula constituyente del sistema.

Lo siento, sé que te cambié la pregunta. Quería centrarme en mi punto principal: ¿por qué la manzana no pesa 'mucho' :-)
El sistema como un todo (manzana más agujero negro) pesa mucho, pero ese peso no está localizado en la manzana.
@ Time4Tea Los objetos singulares no tienen peso; tienen masa. El peso es una fuerza que actúa sobre una masa debido a su interacción con un campo gravitatorio. También tenga en cuenta que el campo gravitatorio depende del marco de referencia.
@Jed Thompson: Entonces, ¿estás diciendo que la energía/masa está contenida en el campo gravitacional , en lugar de las masas mismas? ¡Ese campo debe ser bastante pesado entonces, considerando toda la masa distribuida en el universo!

kyle kanos · Answer 2

La energía potencial es la cantidad de energía almacenada en un objeto con respecto a un punto de referencia particular . Por ejemplo, mira la imagen de una esfera encima de una tabla a continuación:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Podríamos definir el potencial de la esfera con respecto a la mesa, $P=mgh$ , o con respecto al suelo, $P=mgy$ . Claramente, el potencial de las dos posiciones es diferente, ¿eso significa que la masa es diferente? La masa no debería ser diferente simplemente cambiando su punto de referencia, por lo que la masa es la misma. La energía potencial solo importa debido al cambio desde el punto de referencia.

Considere también la definición adecuada de la relación masa-energía de Einstein:

{pag}^{m} {pag}_{m} = {mi}^{2} - {pag}^{2} = {metro}^{2}

$p^\mu p_\mu=E^2-p^2=m^2$ (usando

c = 1

$c=1$ unidades). Sin embargo, esto es para una partícula libre ; uno que no tiene potencial. Al encontrar potenciales, la relación de energía se vuelve

{(mi - tu)}^{2} = {(pag - q)}^{2} + {metro}^{2}

$\left(E-U\right)^2=\left(\mathbf p-\mathbf Q\right)^2+m^2$ (También en

c = 1

$c=1$ unidades) donde

U

$U$ es la energía potencial y

Q

$\mathbf Q$ es el impulso potencial tal que el potencial cuádruple es

Q^{μ} = (U, Q)

$Q^\mu=(U,\mathbf Q)$ . No he hecho los cálculos, pero supongo que esto soluciona su error.

Gracias por tu respuesta. Tendré que pensar en las matemáticas allí, pero parece estar diciendo que la energía potencial no estaría incluida en la masa de un objeto. Re. Sin embargo, la primera parte: ¿no es GPE absoluto en el sentido de que la distancia entre 2 objetos masivos es fija/absoluta?
Como señalo claramente, el potencial gravitacional no es fijo ni absoluto porque puedo establecer cualquier punto para que sea el punto 0. El cambio sería absoluto. Si moví esa esfera hacia arriba $x$ m, entonces ambos marcos de referencia dan el mismo cambio: $\Delta P=mg(h+x)-mg(h)=mgx\equiv mg(y+x)-mg(y)=mgx$ .

hipnótico · Answer 3

Para un sistema atado que no es lo suficientemente masivo como para curvar significativamente el espacio-tiempo, creo que es cierto que la resistencia del sistema a la aceleración (es decir, su masa inercial) en el marco de reposo de su centro de masa es proporcional a la energía interna total del sistema. . Esto incluiría la energía de masa de todas las partículas constituyentes, la energía cinética de todas las partículas en el marco del centro de masa y la energía potencial interna , definida de modo que la energía potencial cero correspondería a todas las partículas constituyentes que se mueven lejos. lejos el uno del otro (tenga en cuenta que sólo las diferenciasen energía potencial tienen un significado físico real, como la diferencia de potencial entre partículas muy separadas y unidas entre sí; es una cuestión arbitraria qué configuración elegimos para definir como potencial "cero"). Es por eso que, como se indica en esta página , un núcleo de helio que consta de dos protones y dos neutrones en realidad pesa un poco menos que la suma de los pesos de dos protones aislados y dos neutrones aislados, porque si el potencial de estos nucleones se define como cero cuando están muy separados, entonces su energía potencial cuando se unen en un núcleo es negativa. En general, si hay una fuerza de atracción entre dos objetos, entonces los objetos tendrán una energía potencial más baja cuando estén cerca que lejos.

De manera similar, la diferencia de potencial entre una colección de partículas unidas a una manzana y la misma colección si todas las partículas estuvieran dispersas muy separadas contribuye a la masa inercial de la manzana (contribuye negativamente a la masa inercial, lo que hace que la manzana pese un poco menos que la suma de los pesos de todas sus partículas individuales si se midieran cuando estaban muy separadas, ya que las fuerzas que unen las partículas de la manzana son atractivas). Pero la energía potencial de la manzana relativa a algo externo como la Tierra no lo hace, aunque contribuiría a la masa inercial del sistema combinado manzana/Tierra.

Me gusta su respuesta, pero quería señalar que debe enfatizar que un potencial atractivo (como el átomo de helio) hace que el sistema pese menos de lo que pesaría de otra manera. De manera similar, para la unión gravitacional, el sistema gravitatorio pesa menos que la suma de los pesos de las partes.

glS · Answer 4

Estás leyendo la fórmula al revés. Con

\begin{matrix} (1) & mi = metro C^{2} \end{matrix}

$\tag{1}E = mc^2$ queremos decir que la energía asociada a la masa $m$ de una partícula en reposo es $E=mc^2$ . En otras palabras, (1) se cumple estrictamente para una partícula en reposo, que no interactúa con nada más.

¿Qué pasa con toda la energía potencial que tiene una partícula? Eso debe incluirse en el lado derecho de (1) . Entonces, la versión de (1) que incluye energía potencial sería

\begin{matrix} (2) & mi = metro C^{2} + {mi}_{gramo}, \end{matrix}

$\tag{2} E = mc^2 + E_g,$ con

E_{g}

$E_g$ denotando todas las contribuciones de energía potencial gravitacional que desee. Así que ahora puedes reemplazar

E_{g}

$E_g$ con su energía potencial gravitacional calculada (y luego, por supuesto, todas las contribuciones de energía gravitacional provenientes de la interacción de la manzana con el resto del universo... buena suerte con eso).

Ahora es crucial entender que (como también señaló Phoenix en los comentarios) la energía siempre se define hasta una constante , y lo que importa físicamente en la dinámica de una partícula (o una manzana) es el cambio en la energía entre dos estados (digamos la manzana en el punto A y la manzana en el punto B). Entonces $E_g$ puede ser tan grande como quieras (puede ser infinito para el caso), y eso no cambiaría nada en la dinámica de la manzana. Esta es la forma en que generalmente no se incluye, a menos que la energía gravitatoria juegue un papel en los cálculos. Podría pensar en una versión más general de (1) como algo así como

\begin{matrix} (3) & mi = \sqrt{{metro}^{2} C^{4} + C^{2} {pag}^{2}} + {mi}_{gramo r a v i t a t i o norte a yo} + {mi}_{mi metro} + {mi}_{w h a t mi v mi r} + C, \end{matrix}

$\tag{3} E = \sqrt{m^2c^4 + c^2p^2} + E_{gravitational} + E_{em} + E_{whatever} + C,$ dónde

E_{e m}

$E_{em}$ lleva la cuenta de la interacción electromagnética del objeto con el resto del universo (si lo hay),

E_{w h a t e v e r}

$E_{whatever}$ lleva la cuenta de todas las demás interacciones posibles que se te ocurran, y

C

$C$ es una constante que siempre puedes elegir arbitrariamente. Obviamente, escribir (1) como (3) sería inútil en la mayoría de los casos y, por lo tanto, solo se incluyen las contribuciones relevantes.

Para concluir, la masa en $F=ma$ llevar la cuenta de las correcciones relativistas es solo

\begin{matrix} (4) & metro = γ {metro}_{0} \equiv \frac{{metro}_{0}}{\sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}}, \end{matrix}

$\tag{4} m = \gamma m_0 \equiv \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}},$ dónde

γ

$\gamma$ es el factor de Lorentz ,

m_{0}

$m_0$ la masa restante utilizada en (1) , y

v

$v$ la velocidad de la partícula. La fórmula de Einstein pretende decirte la cantidad de energía que obtendrías al desintegrar por completo la masa de una partícula, no como una forma de calcular la masa inercial de un objeto.

Gracias por tu respuesta, creo que esto ayuda. Entonces, la ecuación (3) parece sugerir que la masa de la energía potencial está contenida en el campo , en lugar del objeto mismo. Entonces, ¿el campo gravitatorio debe contener una gran cantidad de masa entonces? Por cierto, ¿cuál es la 'p' en la ecuación (3)? (mi conocimiento de la relatividad no es muy extenso).
$E_{gravitational}$ es la energía potencial que tiene el objeto (la manzana) por estar en el campo gravitatorio del agujero negro (y todos los demás objetos masivos del universo). Sí, si quieres puedes decir que "el campo gravitatorio debe contener una gran cantidad de masa", pero eso no es tan sorprendente si piensas que incluso calcular la energía asociada al campo electrostático de una sola carga puntual da un resultado infinito. La única cantidad significativa es la diferencia de energía entre el objeto que está en A y el objeto que está en B.
$p$ es el momento de la partícula. $E= \sqrt{m^2c^4+p^2c^2}$ es la versión "completa" de $E=mc^2$ , que solo es válido para partículas en reposo (es decir, con cantidad de movimiento=velocidad=0). Véase, por ejemplo, el artículo de wikipedia al respecto.
en el caso de la gravedad, no está claro si la energía solo se define hasta una constante (por ejemplo, considere constante cosmológica)
@innisfree todo esto ignora las correcciones de la relatividad general, debería haberlo especificado. De todos modos, por lo que sé (no mucho, lo admito), el término "constante" en el Lagrangiano del que se puede derivar la constante cosmológica no es realmente constante, ya que se multiplica por $\sqrt{|g|}$ hacer la medida invariante

BMS · Answer 5

Creo que la cuestión fundamental no tiene nada que ver con los agujeros negros, sino con distinguir entre fuerza gravitatoria (peso) y energía potencial gravitatoria.

El cambio en la energía potencial de la manzana y el agujero negro distante es (si uno lleva a cabo la integral de trayectoria adecuada) bastante grande. Pero la fuerza gravitacional en sí misma es pequeña. Esto es posible porque la fuerza gravitacional es la tasa de cambio espacial (negativa) de la energía potencial gravitatoria; eso es, $F=-dU/dx$ . Puede haber un gran $\Delta U$ , pero $dU/dx$ todavía ser bastante pequeño en algún momento.

He agregado mi cálculo al final de la pregunta. Tienes razón en que la fuerza gravitacional a esa distancia es muy pequeña, pero integrada en una distancia tan grande, la energía aún parece ser muy grande.

cosas · Answer 6

Debe haber algún error en tu cálculo. Mi cálculo usando la ley de la gravedad de Newton sugiere que la mitad de la energía de los objetos es energía potencial. Lo siguiente es una simulación de bajar un objeto de 1 kg que cuelga de una cuerda que no se estira hasta el horizonte de eventos de un agujero negro ( versión en línea ).

# A Python script:
G= 6.673*10**-11
M=10**27
m=1.0
c=299792458.0

def swartrad(m):
    return (2*G*m) / (c**2)

print "schwartschildradius" , swartrad(M)   

def force(m,M,d):
    return (G*m*M) /(d**2)

pos=200*swartrad(M) 
endpos= swartrad(M)

step=0.001
energy=0
while pos>endpos:
    energy += force(m,M, pos)*step
    pos -= step


print "potential energy of one kilo" , energy
print "total energy of one kilo    " , c**2
print "ratio" , energy / c**2

He agregado un enlace a ideone.com para que las personas puedan probar su código en línea.
No conozco Python, así que encuentro esto un poco difícil de seguir...
Mi cálculo no involucra radios de Schwartzschild, solo estoy mirando GPE.
No te integraste en la distancia más importante, que está cerca del centro. Los siguientes 0,5 m habrían valido 4*500 toneladas de energía potencial. El último milímetro vale una cantidad infinita de energía potencial. Empecé integrando en 200 radios de Schwartschild, porque hay muy poco cambio de energía potencial desde el infinito hasta ese punto. Dejé de integrarme en el horizonte de eventos porque... no es razonable ir más allá de ese punto. ... Estaba calculando el problema de cuánta energía potencial se puede extraer de un objeto. La respuesta que obtuve fue 0.5 mc^2.
@ user7027: mencioné en mis notas que el valor de masa es conservador. Mi punto era que, incluso ignorando ese primer metro de separación, ¡la masa/energía es muy grande!

SAKhan · Answer 7

Básicamente, ha calculado la diferencia de energía potencial en dos puntos y la ha equiparado con la fórmula mc2 como algo válido desde el punto de vista de la conservación de la energía. Sin embargo, cuando su manzana estaba en el agujero negro, asumió que estaba en reposo y, por lo tanto, tenía una energía potencial negativa total igual a su valor de mc2. Luego, cuando lo saca de allí a 60 mil millones de ly, dándole la energía igual a su valor de mc2, se detiene y simplemente cancela el PE negativo que tenía. Entonces pesaría 0,3 kg.

levitafero · Answer 8

Veo varias cosas mal con su cálculo (por ejemplo, unidades de $1-1/R$ ?). Pero sobre todo, no estás calculando lo que crees que eres.

1) $\int_0^E dE$ es el cambio de energía desde donde se establece $E=0$ a la ubicación de la manzana. Dado que el agujero negro está extremadamente lejos, esperaría que este cambio de energía fuera muy grande, como descubrió. Varias personas han hecho comentarios similares: solo el cambio en la energía es relevante aquí, ya que puede establecer el cero de potencial para estar en cualquier lugar que elija.

2) No se puede equiparar este cambio de energía potencial con el resto de la energía de la manzana a través de $E=mc^2$ . Esta energía solo está relacionada con la manzana en sí y no con el entorno o la situación física en la que se encuentra (ya que es el primer componente del cuatro impulso de la manzana en un marco en reposo con respecto a la manzana).

Entonces, su cálculo es algo así como "¿cuál es la masa equivalente asociada con la energía total del sistema manzana-agujero negro?" Tiene mucho sentido que esto sea ridículamente enorme. Imagínese dejar caer su manzana: caería una distancia casi infinita y se movería increíblemente rápido cuando golpee el agujero negro, cuando haya convertido todo su potencial en energía cinética.

cosas · Answer 9

En la mecánica de Newton, el enfriamiento del gas ideal libera una cantidad infinita de energía a medida que el gas se contrae en un punto. Eso no es un problema, porque la energía no tiene masa ni peso en la mecánica de Newton.

En relatividad general, puede enfriar el gas ideal y liberar energía al hacerlo. Pero en algún momento la nube de gas se convierte en un agujero negro, que cuando se enfría eventualmente desaparece.

(Si un agujero negro masivo, grande y de baja densidad pudiera convertirse en un agujero negro masivo, pequeño y de alta densidad, entonces es posible imaginar que se liberaría energía cuando el agujero negro colapsara por su propia gravedad, pero tal cosa no sucede en relatividad general.)

También está el hecho de que, en la relatividad general, la energía tiene masa, por lo que si quitas la energía liberada de una nube de gas que se enfría, terminas con un agujero negro con una masa muy baja.

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