Energía potencial en relatividad especial

Comencemos con la mecánica newtoniana. De las fuerzas fundamentales de la naturaleza, la única que puede ser manejada por la mecánica newtoniana es la gravedad. La mecánica newtoniana no puede manejar el electromagnetismo. El electromagnetismo es inherentemente relativista (es decir, las ecuaciones de Maxwell solo tienen sentido en el contexto de la RS, no en la relatividad galileana).

Ahora pasemos de la aproximación newtoniana a SR. Perdemos la capacidad de modelar la gravedad, ya que eso requeriría GR. Obtenemos la capacidad de modelar el electromagnetismo. En electromagnetismo, realmente no tenemos un concepto útil de una energía potencial escalar$q\Phi$, dónde$\Phi$es el potencial eléctrico. La razón de esto es que aunque el cargo$q$es un escalar relativista, el potencial eléctrico$\Phi$no es un escalar relativista, es el componente temporal de un cuatro vector. La energía conservada en las ecuaciones de Maxwell no es realmente la energía de una partícula puntual en algún campo externo, es la energía del propio campo electromagnético, que depende de densidades de energía proporcionales a$E^2$y$B^2$.

Voy a exponer lo que he entendido.

En la mecánica clásica,$E=T+U$. Dado que para una partícula libre en SR,$E=\sqrt{p^2+m^2}$(aquí$c=1$). Podríamos intentar introducir la energía potencial como:$E-U=\sqrt{p^2+m^2}$. Pero esto no sería una ecuación covariante.

Así que tenemos que usar el 4-vector$Q^\mu=(U, \textbf{Q})$, que es el cuatro impulso potencial mientras$\textbf{Q}$se llama simplemente el impulso potencial .

si restamos$Q^\mu$a$p^\mu=(E,\textbf{p})$, obtenemos:

$E-U=\sqrt{(\textbf{p}-\textbf{Q})^2+m^2}$

El impulso potencial está estrechamente relacionado con el efecto Aharonov-Bohm .

De esta manera introducir la energía potencial la utilizada en las teorías de gauge . Hay dos formas más posibles: para la gravedad, utilizando la curvatura del espacio-tiempo o suponiendo que la energía potencial es un campo escalar (campo de Higgs).

En relatividad especial, las ecuaciones de movimiento en coordenadas galileanas son:

$$\frac{\text{d}\boldsymbol{p}}{\text{d}t} - \boldsymbol{F} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{m\boldsymbol{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) - \frac{\partial V_0}{\partial \boldsymbol{x}} = 0$$

Estas son las ecuaciones de Euler-Lagrange:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{v}}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \boldsymbol{x}} = 0$$

para un Lagrangiano dado por:

$$\mathcal{L} = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-V_0$$

En coordenadas totalmente generales, tendríamos:

$$\mathcal{L} = -mc^2\sqrt{-g_{\mu\nu}\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}x^0}\frac{\text{d}x^\mu}{\text{d}x^0}}- V_\alpha \frac{\text{d}x^\alpha}{\text{d}x^0}$$

donde el "potencial" es ahora un vector potencial de Lorentz. La acción será:

$$S_{AB} = -mc \int_A^B \text{d}s - \int_A^B \frac{V_\alpha}{c} \text{d}x^\alpha$$

que es invariante de Lorentz y las ecuaciones de movimiento serán:

$$m\left(\frac{1}{c}\frac{\text{d}u^\alpha}{\text{d}\tau} + \Gamma^\alpha_{\mu\nu}u^\mu u^\nu \right) = \frac{1}{c}F^\alpha$$

dónde$\text{d}\tau = \text{d}s/c$es el tiempo propio (un escalar de Lorentz). La energía (componente temporal del vector energía-impulso) será:

$$\mathcal{H} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}^a}\dot{x}^a -\mathcal{L}= E = \sqrt{m^2c^4 + \|\boldsymbol{p}c-\boldsymbol{V}\|^2} + V_0$$