Derivación de un radio de Schwarzschild usando masa relativista

La derivación newtoniana no es una derivación en absoluto. Es una consecuencia coincidente de la forma en que se define la coordenada radial de Schwarzschild. No se puede obtener una percepción física al intentar derivar el radio de Schwarzschild de esta manera.

Si comenzamos con espacio-tiempo plano, entonces la métrica es:

Si ahora introducimos un campo gravitatorio débil, donde débil significa que el potencial gravitatorio por unidad de masa$\Phi \ll c^2$, entonces podemos usar una aproximación llamada límite de campo débil para describir la curvatura que corresponde al campo gravitacional débil. En esta aproximación la métrica se convierte en:

Recuerde que esta aproximación sólo es válida cuando$\Phi \ll c^2$, pero si ignoramos esto y cometemos un error independientemente, concluiríamos que hay una singularidad de coordenadas cuando:

o:

Ambos lados de esta ecuación son una energía por unidad de masa, y volver a poner la masa produce un resultado posiblemente más familiar:

que es exactamente el argumento utilizado en el enfoque clásico de calcular cuándo la velocidad de escape alcanza la velocidad de la luz.

Si reescribimos la ecuación de campo débil (1) usando coordenadas polares:

luego sustituya la expresión newtoniana por el potencial gravitatorio:

obtenemos algo que se parece a la métrica de Schwarzschild:

Pero la coordenada radial newtoniana$R$no es lo mismo que la coordenada radial de Schwarzschild$r$. El primero es la distancia medida desde el punto central hasta la posición marcada por$R$mientras que el último es la circunferencia de un círculo que pasa por la posición etiquetada por$r$dividido por$2\pi$. Sin embargo, sucede que la forma en que se define la coordenada radial de Schwarzschild significa que si reemplazamos$R$por$r$obtenemos un resultado exacto:

Y es por eso que la derivación newtoniana da el resultado correcto para$r_s$. Es solo una coincidencia y no debe considerarse una derivación en absoluto.

John Rennie, creo que debemos aclarar que cuando pasas de la segunda métrica a la primera, primero realizas la transformación$dx^2+dy^2 + dz^2=dr^2 + r^2 d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$, que te lleva a la métrica

$ds^2= -(1+2\phi) dt^2 + \frac{1}{1+2\phi}\left(dr^2 +r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2\right)$

Luego, para deshacerse de los coeficientes en$r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2$, debemos reemplazar$r$con$R$, dónde$r^2(1+\phi)=R^2$. Por una práctica coincidencia, entonces si$\phi= -C/r$entonces resulta que$dr=dR\left(1+\frac{1}{2}\phi - \frac{1}{2}\phi+O(\phi^2)\right)= dR\left(1+O(\phi^2)\right)$por lo que al orden lineal llegamos a su tercera métrica.

Esto es interesante, sin embargo, creo que esto es una coincidencia.

Esencialmente, la energía cinética relativista se encuentra con el factor gamma de Lorentz y el momento:

$E_K[_R] = \int v dp = \int v d(m\gamma v) = ......$ $E_K[_R] = m\gamma c^2 - E_0$

$E_0 = mc^2$

Encuentre gamma utilizando la aproximación binomial o tomando los dos primeros términos de la expansión de Taylor para la raíz cuadrada recíproca .

$\gamma = 1 + 1/2 v^2/c^2$

Sub$\gamma$en$E_K[_R]$

$E_K[_R]$=$mc^2(1 + 1/2 v^2/c^2)$-$mc^2$

Se reduce a$E_K[_R] = 1/2mv^2$

De este modo:$E_K[_R]$=$E_K$.

La forma de la métrica SC tiene que cambiar si desea aplicar la conservación de energía relativistamente correcta en oposición a la versión clásica. No se trata solo de redefinir la distancia de escalado. Específicamente, debe reemplazar (1-rs/r) con (1-rs/2r)^2. La métrica resultante no es una solución de vacío, pero lo es aproximadamente en el límite del campo débil y el escalar de curvatura sigue siendo cero. No soy un experto en GR, pero aquellos con los que he hablado se oponen a esta formulación por varias razones que no entiendo completamente. Encuentro intrigante la nueva métrica porque introduce una "variable cosmológica" en el tensor métrico, por lo que no necesita una constante ad hoc para dar cuenta de la expansión del universo. Sin embargo, no estoy seguro de si se ajusta a los datos del Hubble. Para obtener más información sobre esto, consulte:https://www.thenakedscientists.com/forum/index.php?topic=69595.0