¿Por qué me equivoco acerca de cómo ver la teoría de calibre?

Tiene razón, es un error pensar que en la teoría de calibre "las transformaciones de calibre son solo una redundancia". Esto se vuelve cierto solo si uno abandona la localidad, ignora todos los efectos de frontera, todos los efectos instantáneos, de ahí la mayor parte de lo que es interesante sobre la teoría de calibre. Por supuesto, formar clases de equivalencia de calibre (por ejemplo, de observables) es algo que uno quiere hacer de vez en cuando, pero considerar solo clases de equivalencia de calibre significa matar la teoría de calibre.

Ejemplos:

1) Instantons: cada paquete de indicadores en un disco n es equivalente al trivial. Sin embargo, hay paquetes de indicadores no triviales en la esfera n: los sectores instantáneos . Si cree que solo cuentan las clases de equivalencia de calibre, entonces solo existe el paquete de calibre trivial en un hemisferio, el paquete de calibre trivial en el otro hemisferio, y debe pegarlos de manera trivial en el ecuador para obtener un paquete de calibre trivial global. En cambio, lo que realmente sucede es que las transformaciones de calibre no son una redundancia, sino todo lo que constituye la no trivialidad del sector instanton, por la construcción de embrague . Ignorar esto significa tener estructuras globales no triviales que no se obtienen pegando estructuras locales, por lo tanto, significa romper el principio de localidad.

2) Campos de contorno. La forma en que el modelo WZW aparece en el límite de la teoría de Chern-Simons : las transformaciones de calibre de la teoría de Chern-Simons en el límite se convierten en los campos mismos del modelo WZW.

3) defectos de mayor codimensión: bucles de Wilson. De manera similar, los campos en el bucle de Wilson en la teoría de Chern-Simons son completamente las transformaciones de calibre del campo de calibre ambiental, restringido al bucle. Ver aquí para revisión y punteros a la literatura.

4) en general: localidad en la teoría de calibre: se rompe si uno ignora las transformaciones de calibre, consulte los indicadores aquí .

[editar: un comentarista a continuación señala que todo está bien, pero no parece abordar específicamente la construcción sobre la que preguntó el OP. De hecho lo hace, así es como:

5) Campos de calibre a partir de aforos locales: la forma tradicional de los libros de texto de física de derivar campos de calibre a partir de la simetría de calibre local es un ejemplo de la relevancia local de las transformaciones de calibre de la siguiente manera.

Cada haz de fermiones es localmente equivalente al trivial, por lo que lleva la conexión trivial , dada solo por la derivada. Pero recordando que las transformaciones de calibre son una realidad local, se observa que estas llevan esta conexión trivial a una con un potencial vectorial que no desaparece. $A$. Si bien esto todavía tendrá una fuerza de campo que se desvanece, ya aquí algo puede suceder globalmente: si un montón de estos$A$están pegados por transformaciones de calibre, es posible que aún tengamos globalmente un sector instantáneo no trivial. Dado esto, nos vemos obligados a permitir potenciales vectoriales locales generales$A$y descubra que al pegarlos a través de parches por transformaciones de calibre, encontramos el espacio de módulos completo de todos los campos de calibre posibles.

Sin embargo, y ese es el punto correcto que observa el OP, uno declara que todas las transformaciones de calibre local son solo redundancias, entonces eso significa reemplazar cada potencial de vector local$A$por su clase de equivalencia de calibre. Pegar estos a través de parches nunca produce todas las configuraciones de campo de calibre global (por ejemplo, si la clase de equivalencia de calibre era la clase 0, uno nunca encuentra los sectores instantáneos de clase de torsión global).

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Matemáticamente, lo que sucede aquí es la declaración de que los campos de calibre no forman un espacio de módulos sino una " pila de módulos ". El concepto matemático de pila tiene que ver con lo que significa combinar la localidad con el principio de calibre. Una exposición de esto está en nuestro arXiv:1301.2580 .

Por ejemplo, lo que rige los ejemplos 2) y 3) anteriores, donde las transformaciones de calibre en una dimensión superior se convierten en campos genuinos en una dimensión inferior, es esencialmente una instancia de la construcción de bucles en pilas: la pila de módulos$\mathbf{B}G$de$G$-sectores instanton tiene un solo componente

(por lo tanto, "solo hay una clase de equivalencia de calibre") pero, sin embargo, recuerda la naturaleza completa de las transformaciones de calibre

Pensar que "la equivalencia de calibre es una redundancia" significa pensar que la pila de módulos$\mathbf{B}G$también puede ser reemplazado con su 0-truncamiento$\tau_0 \mathbf{B}G\simeq \ast$, lo que significa pensar que local$G$-la teoría del calibre es trivial.

El mismo tipo de argumentos se aplican a la pila completa de módulos$\mathbf{B}G_{conn}$de$G$-campos de calibre (en lugar de solo sus sectores instantáneos). Después$\pi_0(\mathbf{B}G_{conn})$es el haz de clases de equivalencia de calibre de$\mathfrak{g}$-valor diferencial 1-formas. Eso es más que el punto anterior, pero sigue siendo solo una débil sombra de lo que trata la teoría de calibre.

Para ser honesto, creo que la ruta que describes (y que también se usa en muchos libros de texto) no está nada bien motivada físicamente. Has comenzado con una teoría de un fermión con una simetría global que asigna estados físicos a diferentes estados físicos. Esta teoría tiene la propiedad de que la especificación de las condiciones iniciales en una superficie espacial determina completamente la evolución del sistema. Esto es lo que esperas como físico.

Ahora, por alguna razón, desea que esta simetría sea local. Al hacerlo, destruye esta propiedad. La invariancia local significa que un conjunto dado de condiciones iniciales puede resultar en cualquier número de estados finales. Espero que estés de acuerdo en que esto no tiene sentido físico. Para solucionar este problema y recuperar la buena propiedad, debe pasar por un procedimiento complicado de fijación de calibre que generalmente oscurece otras buenas propiedades de la teoría (Invarianza de Lorentz, unitaridad, etc.).

Estoy de acuerdo en que es genial que medir la simetría introduzca nuevos campos, pero no es tan sorprendente ya que introdujiste un nuevo campo no dinámico a mano (el parámetro de calibre). Mientras tanto, el precio que paga es la previsibilidad hasta que lo arregle.

Creo que la otra ruta que mencionas, que se defiende en los libros de Weinberg y está respaldada por investigaciones recientes sobre enfoques en el caparazón para QFT, tiene más sentido físico. Estás haciendo mecánica cuántica. Hilbert Space se organiza en representaciones de simetrías globales. Haga el pequeño análisis de grupo. Descubre que no puedes poner helicidad$\pm1$en un campo local construido a partir de operadores de creación y aniquilación sin invariancia de calibre. Una vez que esté en este punto (comprometido con una descripción local), obtendrá todos los puntos importantes del Dr. Schreiber, muchos de los cuales pueden estar relacionados con cantidades físicas medibles (por ejemplo, instantes, la anomalía axial y$\pi^0 \to \gamma \gamma$). Tenga en cuenta que al hacer la teoría de calibre, aún puede elegir qué estados identificar a través de las condiciones de contorno en los campos.

Ya que preguntó específicamente sobre la relevancia de los métodos de espino-helicidad, diré algunas palabras. Es cierto que en los últimos años ha habido un gran progreso en el cálculo de amplitudes de dispersión en capa, donde no hay necesidad de invariancia de calibre, la acción del pequeño grupo es simple y manifiesta, y los cálculos son mucho más simples. A algunas personas les gusta decir que esto demuestra que no necesitamos ninguna formulación local y que la teoría de calibre no es fundamental. Sin embargo, debe tener en cuenta que casi todos estos avances se han realizado en la computación perturbativa.cantidades. Muchos de los efectos más interesantes en la teoría de calibre son en realidad no perturbadores, y el programa de amplitudes realmente no tiene forma de capturar esta información. Si descubren cómo calcular una contribución instantánea a la dispersión en el formalismo en el caparazón, creo que, en última instancia, la respuesta será que la invariancia de calibre es totalmente innecesaria y no física. Hasta entonces, lo máximo que puede decir es que la imagen local invariante de calibre le permite calcular más cosas. En física, la única evaluación real de un formalismo es cómo reproduce las medidas.