Descomposición de una transformación de Lorentz en espacio-tiempo tridimensional

En el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, un elemento arbitrario$\Lambda\in\text{SO}(3,1)^{\uparrow}$del grupo de Lorentz se puede descomponer de la siguiente manera:

$$\Lambda=\tilde{R}\Lambda_x(\psi)R$$ dónde $\tilde{R},R$son rotaciones espaciales y $\Lambda_x(\psi)$es un impulso de Lorentz en el plano xt.

¿Es la descomposición análoga en el espacio-tiempo tridimensional

$$\Lambda=\Lambda_x(\psi)R\text{ ?}$$ No creo que esto pueda ser cierto, ya que esto implicaría que cualquier transformación 3D de Lorentz podría describirse mediante 2 parámetros continuos, pero el grupo de Lie $\text{SO}(2,1)^{\uparrow}$tiene dimensión 3. Por otro lado, casi he probado que la identidad anterior se cumple a partir de la descomposición polar de matrices reales de 2x2 $N=OP$dónde $N\in\text{ SL}(2,\mathbb{R})$es la doble portada de $\text{SO}(2,1)^{\uparrow}$, $O$es una matriz ortogonal de 2x2 y $P$es una matriz positiva definida simétrica de 2x2.

La pieza que me falta en esta prueba es que una transformación de Lorentz es simétrica si es un impulso de Lorentz puro. He leído que esto es cierto, pero no estoy seguro de cómo probarlo.

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Después de reflexionar sobre la respuesta de ZeroTheHero, me doy cuenta de que lo que estaba demostrando usando el teorema de descomposición polar era la descomposición más general

$$\Lambda=\text{R}(\alpha)\Lambda_{\hat{n}}(\psi)$$ dado en su respuesta. Entonces no hay contradicción aquí, esto tiene tres parámetros continuos al igual que su grupo de Lie.