Representación de estado cuántico con operadores de desplazamiento

si piensas en$a_n$y$b_j$como valores propios, es muy posible que el valor propio$a_n$ocurrir más de una vez, pero no hay razón para que todos los estados propios de$\hat A$con valor propio$a_n$tener el mismo valor propio de$\hat B$.

Un ejemplo sencillo serían los estados propios del átomo de hidrógeno. Los autoestados$\vert \psi_{n,\ell,m}\rangle$todos tienen la misma energia$E_n$para fijo$n$, pero hay (generalmente) varios estados con energía$E_n$que tienen diferentes valores propios de$\hat L^2$y$\hat L_z$. Por lo tanto, una expansión en términos de estos estados propios contendría un coeficiente diferente para cada$(n,\ell,m)$triple de los números cuánticos, es decir

Uno puede incluso imaginar una situación en la que algunos triples ocurran más de una vez, en cuyo caso necesitaría la etiqueta adicional$i$para distinguir entre esos estados.

En la primera ecuación, n es el índice de los pares${a_n,b_n}$de valores propios simultáneos, y$i\geqslant 1$. En la ecuación del libro de Cohen, tiene dos índices, n para$A$valores propios y p para$B$valores propios. Si tenemos un sistema con cuatro estados$|a>$,$|b>$,$|c>$,$|d>$, que tienen la propiedad de que:$A|a>=|a>$,$A|b>=|b>$,$A|c>=3|c>$,$A|d>=3|d>$

$B|a>=0$,$B|b>=2|b>$,$B|c>=4|c>$,$B|d>=4|d>$

En la primera notación que mencionas, tendremos$n=1,2,3$, y los estados se llamarán$|{a_1,b_1,1}>=|a>$,$|{a_2,b_2,1}>=|b>$,$|{a_3,b_3,1}>=|c>$,$|{a_3,b_3,2}>=|d>$, con$a_1=1, a_2=1, a_3=3, b_1=0, b_2=2, b_3=4$. En la segunda notación tendremos$n=1,2$,$p=1,2,3$, y los estados se llamarán$|{a_1,b_1,1}>=|a>$,$|{a_1,b_2,1}>=|b>$,$|{a_2,b_3,1}>=|c>$,$|{a_2,b_3,1}>=|d>$.

creo que esa es la idea...

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Si$A$y$B$son operadores autoadjuntos conmutantes (más precisamente, operadores con espectro de punto puro cuyas medidas espectrales conmutan), entonces el espacio de Hilbert se descompone en una suma ortogonal directa de espacios propios comunes , donde$A$y$B$se representan trivialmente como operadores multiplicativos:$aI$y$bI$.

La observación crucial es que los espacios propios comunes de$A$y$B$son uno a uno con los pares de valores propios $(a,b)$. Ahora bien, hay varias formas de etiquetar biyectivamente todas estas parejas, es decir, todos estos espacios propios comunes.

En el primer caso$n$etiqueta diferentes espacios propios comunes cuya dimensión es el rango de valores posibles de$i$(que depende de$n$). Entonces puede suceder que$a_n= a_{m}$por ejemplo aunque$n\neq m$. Pero$(a_m,b_m) \neq (a_n,b_n)$necesariamente si$n\neq m$(eso es$b_n\neq b_m$en el ejemplo considerado).

En el segundo caso$n$y$p$etiquetar por separado diferentes valores propios de$A$y$B$respectivamente, y$i$(cuyo rango depende de$n$y$p$) da cuenta de la dimensión de cada espacio propio común como antes. Entonces, en particular,$a_n \neq a_m$necesariamente si$n\neq m$y$b_p \neq b_q$si$p\neq q$.

Estos dos procedimientos para describir la descomposición del espacio de Hilbert en una suma ortogonal directa de espacios propios comunes de$A$y$B$son completamente equivalentes. Usar uno u otro es solo cuestión de conveniencia.

Se genera una especie de confusión por la ausencia de indicación de los rangos de índices en la suma, especialmente el de$i$. Una notación menos descuidada ayudaría a comprender la equivalencia de las descomposiciones.

Usando$|a_n,b_p,i\rangle$es solo una forma más general de descomponer el estado general$|\psi\rangle$. Ya que, todo lo que necesita es tener un conjunto de estados que diagonalicen sus dos operadores. Por ejemplo, si

Si este conjunto de estados es completo (abarca todo el espacio de Hilbert), habrá encontrado lo que el teorema garantiza que existe.

La diferencia entre la ecuación (1) y (2) es que la ecuación (1) solo permite operadores que abarcan el mismo espacio de Hilbert (porque para cada valor propio de$A$, hay un valor propio correspondiente para$B$para el mismo estado). Por lo tanto, sería posible usar solo un índice para cada estado propio de ambos operadores A y B (como$|a_nb_n\rangle\equiv|n\rangle$dónde$A|n\rangle = a_n|n\rangle$y$B|n\rangle = b_n|n\rangle$). Por el contrario, la ecuación (2) permite que dos operadores actúen en diferentes espacios de Hilbert (para un solo valor propio de$A$, hay todo un conjunto de estados que da el mismo valor propio para$A$pero no es lo mismo para$B$). Esta forma sería más general.

Por ejemplo, para un sistema con una partícula que tiene degeneración de espín (como un electrón en un átomo de H), podría tener un operador que actúe en un espacio de Hilbert dividido por un conjunto infinito de estados propios (como el operador Energía) que conmuta con el operador de espín que abarca un subespacio de Hilbert restringido para cada estado de energía (degeneración de espín doble para cada valor propio de energía). Por lo tanto, su estado general de electrones estaría mejor escrito por la ecuación (2) ya que ambos operadores no actúan en el mismo subespacio de Hilbert. ¡Espero que esto ayude!