Gas de electrones libres en dos dimensiones

TylerHG: Sí, es fácil calcular la densidad de estados. Pero lo que realmente estoy preguntando aquí es "por qué".

Tenga en cuenta que un anillo circular delgado en$\mathbf{k}$-espacio de espesor$dk$tiene área$dA=2\pi k\,dk$(por geometría elemental). En$E$-espacio, ya que$E\propto k^2$, ese anillo corresponde a un parche de ancho$dE=2k\,dk$.

De este modo

$$\frac{dA}{dE}=\pi.$$ Pero $A\propto N$, por lo que la densidad de estados es constante.

Es fácil demostrar que el número total de electrones en una fermiesfera 3D es:

$$N(e)=\frac{V}{3\pi^2}*k_F^3$$

Dónde$k_F$es el vector de onda de Fermi y$V$es el volumen espacial real de tu esfera.

Ahora bien, si se reorganiza para$k_F$en términos del número total de electrones obtendrás una ecuación particular.

es saber que

$$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$$

dónde$k$es un vector de onda arbitrario.

sustituyendo$k$en lo anterior para$k_F$entonces puede obtener una ecuación para la energía en términos de$\frac{N(e)}{V}$es decir, la densidad numérica.

Reorganizar esta ecuación de energía para hacer$N(e)$el tema y diferenciar con respecto a la energía y listo! Tienes la densidad de estados (en función de la energía) para una esfera de Fermi 3D y una explicación concluyente de por qué tiene una$E^\frac{1}{2}$dependencia.

EDITAR: recomiendo hacer esto en una hoja de papel real para comprender mejor mi explicación. He omitido partes a propósito, ¡así que estás obligado a hacerlo! Además, sugiero probar la misma idea para el caso 1D posiblemente más fácil.