¿Por qué los generadores de impulsos se transforman como un vector bajo rotación?

Los vectores se transforman linealmente,

$$\begin{equation} x _i \rightarrow A _{ ij } x _j \end{equation}$$ a través de alguna matriz de transformación $A$.

Ahora considere la transformación de$M _i$:

$$\begin{align} e ^{ i \theta _j J _j } M _i e ^{ - i J _j \theta _j } & = \left( 1 + i \theta _j J _j - ... \right) M _i \left( 1 - i \theta _j J _j - ... \right) \\ & = M _i + i \theta _j \left[ J _j , M _i \right] + ... \end{align}$$ Ahora si $\left[ J _j , M _i \right]$solo es proporcional a $M _j$como arriba entonces infinitesimalmente, $$\begin{align} e ^{ i \theta _j J _j } M _i e ^{ - i J _j \theta _j } & = M _i + i \theta _j \epsilon _{ jik} M _k \\ &= (\delta_{ik}+i\theta_j\epsilon_{jik})M_k\\ &= A _{i,j}M _j \end{align}$$ para alguna matriz de transformación $A$según sea necesario.

El hecho importante es que el cambio de un objeto$O$bajo una transformación infinitesimal generada por un generador$G$se puede escribir en términos de su conmutador (parámetro infinitesimal$\alpha$):

$$O\longrightarrow O + \delta O\enspace\,\,\text{where}\enspace\,\, \delta O = i\alpha [G,\,O]$$

(para probar esto, vea la respuesta de JeffDror). Para interpretar su primer conmutador$[J_i, J_j] = i\epsilon_{ijk} J_k$, poner objeto$O=J_j$y generador$G=J_i$, y el resultado del lado derecho es$\delta J = i\alpha_j\epsilon_{ijk}\,J_i$te dice cómo el objeto$J$se transforma bajo la acción del generador$J$. Esto define un vector . De manera más general, aprendimos

$$\delta O = i\alpha_j\epsilon_{ijk}O_k\qquad\text{under $J_i$}$$ es como un vector $O$se transforma bajo la acción de $J$. A partir de ahora, cualquier $O$satisfacer lo anterior es un vector.

Ahora pasa al siguiente conmutador.$[J_i, M_j] = i\epsilon_{ijk} M_k$. Para interpretar esto, identificamos$M$como nuestro objeto y$J$como el generador. El resultado en el lado derecho$\delta M_i = i\alpha_j \epsilon_{ijk}M_k$te dice que$M$se transforma exactamente de la misma manera que cambia un vector.