¿Por qué los estados normativos negativos rompen la unitaridad?

Le pregunté a Mark Srednicki sobre esto y me dijo que no es realmente correcto decir que los estados de norma negativa rompen la unitaridad, porque los estados de norma negativa no existen según la definición del producto interno. A menudo, es un truco de cálculo conveniente expandir formalmente su espacio de estado para que ya no sea un espacio de Hilbert agregando fantasmas de norma negativa, y la presencia de estados físicos que parecen acoplarse formalmente a los fantasmas indica la presencia de una anomalía cuántica que le impide de cuantificar consistentemente su teoría. Pero esto es solo un truco de cálculo para ver la anomalía: la anomalía es real, los fantasmas no.

En particular, en principio siempre se puede ver la existencia de la anomalía sin introducir fantasmas. Por ejemplo, la explicación habitual del hecho de que la teoría de cuerdas bosónicas solo se pueda formular en 26 dimensiones es que ese es el único número de dimensiones en el que los fantasmas se desacoplan. Pero alternativamente podemos trabajar en calibre de cono de luz con solo estados de norma positiva, y encontramos que solo en 26 dimensiones se cierran los generadores de Lorentz. Esta es otra forma de ver la anomalía que no requiere ninguna mención de fantasmas.

Mark también dijo que otra razón por la que es incorrecto decir que los fantasmas "rompen la unitaridad" es que en realidad solo evitan que cuantifiques tu teoría de manera consistente; no hay razón para señalar específicamente que la unitaridad está rota.

Unitaridad significa que la evolución temporal es implementada por un operador unitario$U(t)=e^{-itH}$(en unidades donde$\hbar=1$) en un espacio de Hilbert. Si$H$se implementa como un operador lineal hermitiano en un espacio vectorial con un producto interno indefinido, esto se garantiza solo si algún subespacio de estados físicos es a la vez un espacio de Hilbert e invariante bajo la evolución del tiempo. Como en un espacio de Hilbert todos$\psi^*\psi$son no negativos, esto implica que ningún estado físico$\psi$puede tener$\psi^*\psi<0$. Por lo tanto, todos esos estados son no físicos. Este es el contenido preciso de la afirmación ''los estados normativos negativos rompen la unitaridad''

En un espacio de producto interno general,$U(t)$aún conservará todos los productos internos y, por lo tanto, todas las normas. Pero, en general, no existe un subespacio útil que consista únicamente en estados normativos positivos y cero. Solo este último califica como un espacio de Hilbert. Tenga en cuenta que las combinaciones lineales de estados de norma positiva pueden tener una norma negativa; por lo tanto, la condición de ser positivo en un subespacio lo suficientemente grande como para acomodar una representación de todos los observables relevantes en lugar de solo un subconjunto es muy restrictiva.

La unitaridad es la idea de que los estados en un espacio de Hilbert (mecánica cuántica) siempre están normalizados (tienen longitud uno),$\langle \psi|\psi\rangle = 1$. Normalmente, la evolución de un sistema físico (en la teoría cuántica) se describe mediante un operador unitario que actúa sobre el vector de estado en el espacio de Hilbert. Por ejemplo, la evolución de un sistema en el tiempo viene dada por$e^{i H t} |\phi\rangle$, donde el exponente del hamiltoniano$e^{i H t}$es el operador unitario que describe cómo evoluciona el sistema a lo largo del tiempo.

Cuando la evolución no es unitaria, el estado ya no estará normalizado. Esto es malo porque las probabilidades de todos los resultados posibles sumados ahora ya no sumarán uno. Por la misma razón, cuando se obtiene un estado no normalizado, o un estado de norma negativa, la evolución del sistema ha sido no unitaria.