Oscilador armónico cuántico en termodinámica

Haré esto de manera más general para cualquier$N$y energía total$\mathcal{E}$. En primer lugar, supongo que te olvidaste de$\hbar \omega$en el hamiltoniano, entonces

$$\hat{H} = \hbar\omega\sum\limits_{i=1}^{N}\left(\hat{a}_i^{\dagger}\hat{a}_i + \frac{1}{2}\right).$$ En conjunto microcanónico necesitamos $\Phi(E)$que es el número total de microestados que tiene energía total $E$. Como usted señaló para $E=9/2\hbar\omega$será $10$. En el caso del oscilador armónico cuántico, la energía total $\mathcal{E}$es dado por $$\mathcal{E}(n_1,n_2,\ldots,n_N) = N\frac{1}{2}\hbar\omega + \hbar\omega\sum\limits_{i=1}^{N} n_i.$$ Ahora te enfrentas al siguiente problema. Cuantas combinaciones de numeros enteros $n_i$(incluyendo 0) hay tales que $$\sum\limits_{i=1}^{N}n_i = \frac{E-N\hbar\omega/2}{\hbar\omega}.$$ La respuesta, que puedes encontrar eq aquí , es $$\Phi(E) = \binom{\frac{E-N\hbar\omega/2}{\hbar\omega} + N-1}{N-1}.$$

Denotemos por$p(\epsilon|i,E)$la probabilidad condicional de que el número del oscilador$i$tiene energía$\epsilon$dado que la energía total es$E$. Esto no es más que la proporción$p(\epsilon|i,E) = \phi_i(\epsilon|E)/\Phi(E)$, entre número de posibilidades cuando$\hbar\omega(n_i + 1/2) = \epsilon$y el número total de microestados. Fácilmente podemos calcular$\phi_i(\epsilon|E)$porque es similar al problema combinatorio anterior, pero ahora tenemos una partícula menos:

$$\phi_{i}(\epsilon|E) = \binom{\frac{E-\epsilon - (N-1)\hbar\omega/2}{\hbar\omega}+N-2}{N-2}.$$ Para $E = 9\hbar\omega/2$y $N=3$usted obtiene: $$\phi_i(\epsilon|E=9\hbar\omega/2) = \frac{9}{2}- \frac{\epsilon}{\hbar\omega},$$ entonces $$p(\epsilon|i,E=9\hbar\omega/2) = \frac{9/2-\epsilon/\hbar\omega}{10}.$$

En el conjunto micro-canónico, si la energía dada tiene un espacio propio degenerado del hamiltoniano, entonces simplemente toma una base ortonormal para ese espacio propio y toma una combinación incoherente de esos estados como su matriz de densidad. (Ejercicio para el lector: demuestre que$\rho$, así definido, es independiente de esa elección de base.)

Para su caso específico, reformulado sin las aburridas energías de punto cero como

$H = \sum\limits_{i=1}^N a_i^\dagger a_i$, para$N=3$osciladores y con energía total$3\hbar\omega$, donación$10$estados en el conjunto.

tenemos los estados

$$\{|3,0,0⟩,|2,0,1⟩,|2,1,0⟩,|1,2,0⟩, |1,1,1⟩,|1,0,2⟩,|0,3,0⟩, |0,2,1⟩,|0,1,2⟩, |0,0,1⟩\}$$ como una base ortonormal de ese espacio propio, por lo que simplemente toma $\rho$ser esa combinación, $$\rho = \frac{1}{10}\sum_{n_1+n_2+n_3=3} |n_1,n_2,n_3⟩⟨n_1,n_2,n_3|.$$

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Para calcular la distribución de resultados de medición para una cantidad de un solo oscilador como uno de los subhamiltonianos individuales, simplemente puede rastrear los otros hamiltonianos como

$$\rho_1 = \mathrm{Tr}_{2,3}\rho,$$ donde la traza parcial es el único mapa lineal tal que $$\mathrm{Tr}_{2,3}|n_1,n_2,n_3⟩⟨n_1,n_2,n_3| =|n_1⟩⟨n_1|\ \mathrm{Tr}\bigg[|n_2,n_3⟩⟨n_2,n_3|\bigg] =|n_1⟩⟨n_1|, \tag{$*$}$$ dándote un resultado de la forma $$\rho_1= p_1|n_1⟩⟨n_1| + p_2|n_2⟩⟨n_2| + p_3|n_3⟩⟨n_3|,$$ lo que luego le da las probabilidades de obtener los resultados de medición asociados con cada uno de esos estados de componentes.

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Podría ser beneficioso analizar esto en su totalidad, pero el$E=3\hbar \omega$el caso es un montón de trabajo pesado, así que haré el$E=\hbar \omega$caso en su lugar. Aquí tiene tres estados relevantes, lo que significa que su estado completo es

$$\rho = \frac{1}{3}\bigg( |1,0,0⟩⟨1,0,0| + |0,1,0⟩⟨0,1,0| + |0,0,1⟩⟨0,0,1| \bigg).$$ Luego desea el estado reducido, que obtiene del estado completo mediante el seguimiento de osciladores $2$y $3$: aplica la traza parcial, la descompone en los factores individuales por linealidad, la aplica a través de $(*)$a cada término, y luego sumas todo: $$\begin{align} \rho_1 & = \mathrm{Tr}_{2,3}(\rho) \\ & = \frac{1}{3}\mathrm{Tr}_{2,3}\bigg( |1,0,0⟩⟨1,0,0| + |0,1,0⟩⟨0,1,0| + |0,0,1⟩⟨0,0,1| \bigg) \\ & = \frac{1}{3}\bigg[ \mathrm{Tr}_{2,3}\big(|1,0,0⟩⟨1,0,0|\big) + \mathrm{Tr}_{2,3}\big(|0,1,0⟩⟨0,1,0|\big) + \mathrm{Tr}_{2,3}\big(|0,0,1⟩⟨0,0,1|\big) \bigg] \\ & = \frac{1}{3}\bigg[ |1⟩⟨1|\mathrm{Tr}\big(|0,0⟩⟨0,0|\big) + |0⟩⟨0|\mathrm{Tr}\big(|1,0⟩⟨1,0|\big) + |0⟩⟨0|\mathrm{Tr}\big(|0,1⟩⟨0,1|\big) \bigg] \\ & = \frac{1}{3}\bigg[ |1⟩⟨1| + |0⟩⟨0| + |0⟩⟨0| \bigg] \\ & = \frac{1}{3}|1⟩⟨1| + \frac{2}{3} |0⟩⟨0|. \end{align}$$ Esperemos que eso aclare las cosas.

Puedes encontrar la probabilidad con la matriz de densidad. Esta matriz de densidad es un operador definido por

$\hat{\rho}= e^{-\frac{\hat{H}}{k_BT}}$

con constante de Boltzmann$k_B$y temperatura$T$. Si calcula el valor esperado del operador, obtiene la probabilidad de que el sistema esté en el estado de energía$\epsilon$.

Podría ser útil expandir un estado cuántico en una combinación lineal de estados propios del hamiltoniano.