La invariancia de calibre de la corriente de probabilidad

Es simple mostrar que bajo la transformación de norma

{ A → → A → + ∇ x ϕ → ϕ − ∂ x ∂ t ψ → ψ Exp ⁡ ( i q x ℏ )
La ecuación de Schrödinger
[ − ℏ 2 2 metro ( ∇ − i q A → ℏ ) 2 + q ϕ ] ψ = i ℏ ∂ ∂ t ψ
devuelve la misma ecuación.

¿Cómo se deduce que la corriente de probabilidad es invariante de calibre?

Calcule la corriente de probabilidad, el resultado dependerá del vector potencial, pero la combinación es invariante de calibre.
Wikipedia cita esta pregunta y respuesta.

Respuestas (1)

Tenga en cuenta que la corriente de probabilidad en presencia de un campo EM está dada por

j = 1 2 metro ( ψ ∗ pag ψ − ψ pag ψ ∗ − 2 q A ψ ∗ ψ )

Al notar un cambio de fase local

ψ ′ = mi i q x ( r , t ) / ℏ ψ

conduce a una transformación de calibre del vector potencial

A ′ = A + ∇ x

Sustituyendo estos en la expresión de la corriente de probabilidad da

j ′ = 1 2 metro ( mi − i q x ( r , t ) / ℏ ψ ∗ pag mi i q x ( r , t ) / ℏ ψ − mi i q x ( r , t ) / ℏ ψ pag mi − i q x ( r , t ) / ℏ ψ ∗ − 2 q A mi − i q x ( r , t ) / ℏ ψ ∗ mi i q x ( r , t ) / ℏ ψ − 2 q ∇ x ( r , t ) mi − i q x ( r , t ) / ℏ ψ ∗ mi i q x ( r , t ) / ℏ ψ )

Operando con pag → − i ℏ ∇ Se obtiene

j ′ = 1 2 metro ( ψ ∗ ( − i ℏ ) ∇ ψ + ψ ∗ ψ i q ℏ ( − i ℏ ) ∇ x ( r , t ) − ψ ( − i ℏ ) ∇ ψ ∗ − ψ ∗ ψ ( − i q ℏ ) ( − i ℏ ) ∇ x ( r , t ) − 2 q A ψ ∗ ψ − 2 q ∇ x ( r , t ) ψ ∗ ψ )

Clasificándolo se obtiene

j ′ = 1 2 metro ( ψ ∗ pag ψ − ψ pag ψ ∗ − 2 q A ψ ∗ ψ ) = j
por lo tanto, la corriente de probabilidad es invariante de calibre.

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