¿Por qué las energías de estructura fina son ∝α4∝α4 \propto \alpha^4 ?

Una forma es mirar cómo escala la energía relativista.

En el modelo de Bohr, la energía de la estructura fina está relacionada con la velocidad (estado fundamental) por:

$$\alpha=\frac{v}{c}$$ En relatividad la energía de una partícula viene dada por: $$E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ Ampliando esto en términos de $v/c$obtenemos: $$E= mc^2 \left( 1+\frac{v^2}{2c^2}+\frac{3v^4}{8c^4}+...\right)$$ El primer término aquí es la energía en reposo, el segundo es la energía clásica que, dado que es proporcional a $v^2$esperaríamos que la energía bruta del átomo $\propto \alpha^2$. Los términos de orden superior están relacionados con las correcciones relativistas, siendo la más destacada $\frac{v^4}{c^4 }$y así esperamos que las correcciones relativistas sean del orden de $\alpha^4$.