Mire, el Dr. Zaslavsky tiene toda la razón. Pero. Una vez, el gran matemático Jean Leray, después de que se le pidiera que pensara en el trabajo de Maslov sobre métodos asintóticos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales que eran generalizaciones del método WKB, decidió, en los años 70, escribir un libro completo titulado Análisis Lagrangiano y Cuántico . Mecánica, tenga en cuenta que le da su propio significado especial al «Análisis de Lagrangian». MIT Press, véase el bonito resumen titulado «El significado del método asintótico de Maslov: La necesidad de la constante de Planck en matemáticas».

Esto no es una derivación de la magnitud de la constante de Planck a partir de las ecuaciones de Maxwell, pero es una motivación profunda de por qué debería haber una constante finita, pequeña, como la de Planck desde el punto de vista de que la cáustica que se obtiene en la óptica geométrica no puede ser física. y, sin embargo, la óptica geométrica debería ser una aproximación útil a la óptica ondulatoria. Desde este punto de vista, debería haber alguna constante como la constante de Planck, al menos en matemáticas puras.

Sin embargo, es muy avanzado: inaccesible a menos que ya conozca los operadores integrales de Fourier en variedades simplécticas, como en el libro de Duistermaat o Guillemin y Sternberg, Técnicas simplécticas en física. El libro original de Maslov es, aunque no riguroso, muy perspicaz y más accesible.

Sin embargo, para un físico, quizás solo los conceptos básicos de la relación hamiltoniana entre la óptica geométrica y la óptica ondulatoria, y los conceptos básicos del método WKB, serían más importantes.

Si está hablando de derivar el valor de la constante de Planck, entonces no, eso no es posible. El valor es simplemente una consecuencia de nuestro sistema de unidades elegido.

Si está hablando de derivar el hecho de que tiene que existir algo análogo a la constante de Planck, entonces creo que la respuesta sigue siendo no. Hasta cierto punto, eso también es una consecuencia de nuestro sistema de unidades, ya que si usa unidades completamente naturales, la constante de Planck tiene un valor de 1 y, por lo tanto, nunca aparece en las ecuaciones en primer lugar. Pero además de eso, el contexto original en el que se propuso el contexto fue la cuantificación de la energía, es decir, que la energía de una onda EM se cuantifica en unidades de$hf$. Esto podría considerarse la suposición fundamental de la mecánica cuántica. La constante de Planck es parte de esta suposición, por lo que realmente no se puede llamar un resultado derivado.

David Z y Joseph F Johnson dan, en mi opinión, buenas descripciones de cómo la constante de Planck no se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell (sin embargo, Joseph da otros argumentos por los que debería existir una constante como la de Planck).

Sin embargo, mirando la pregunta desde un punto de vista ligeramente diferente: si uno decide que la luz está cuantizada, entonces hay un experimento mental en la óptica clásica que motiva la forma de la ley de Planck, es decir , que el cuanto de energía de la luz tiene que ser proporcional a su frecuencia. Una vez más, el valor de la constante de proporcionalidad no puede derivarse de las ecuaciones de Maxwell, pero creo que lo siguiente es interesante en la medida en que son las ecuaciones de Maxwell junto con la relatividad especial las que muestran que la ley de cuantificación tiene que tener cierta forma.

Nuestro experimento mental trata sobre la luz en un resonador óptico perfecto que consta de dos espejos perfectamente paralelos con ondas planas que rebotan entre ellos.

Ahora "aplastamos la luz" juntando los espejos: aceleramos el de la derecha instantáneamente para$v$metros por segundo desplazándose hacia el otro, que se mantiene inmóvil. Algún tiempo después, detenemos la aglomeración, de nuevo desacelerando de$v$metros por segundo para descansar instantáneamente.

Resumen físico

Si uno trabaja a través del cálculo, encuentra, por supuesto, que el trabajo realizado empujando los espejos se muestra como energía en el campo de la cavidad. Pero, al mismo tiempo, el pulso que rebota en la cavidad mantiene su forma funcional original, pero el argumento de la forma funcional$k \,z - \omega \, t$se amplía para que la forma de pulso constante se encoja para encajar perfectamente en la cavidad de contracción. Esto es Doppler blueshifting en otra forma: la representación de Fourier (el espacio de número de onda covariante) simplemente se dilata uniformemente y el factor de escala es el mismo factor de escala que se aplica a la energía del campo. Alternativamente, podríamos imaginarnos drenando la energía de la luz dejando que la cavidad se expanda "adiabáticamente" y trabaje contra la fuerza exterior. Luego, por supuesto, obtendríamos el corrimiento al rojo Doppler; de nuevo, el factor de escala Doppler es el mismo factor de escala que se aplica a la energía decreciente del campo. Este es el punto central:

El factor de desplazamiento Doppler es el mismo que el factor de escala de energía .

Ahora, supongamos que pensamos que la energía clásica de este campo surge de cualquier número de "fotones" (digamos $N$) todos en exactamente el mismo estado al comienzo del experimento. Presumiblemente, si aplastamos lo suficientemente lento para que la adiabaticidad se mantenga (consulte la página Wiki sobre el "Teorema de la adiabaticidad") , uno podría interpretar razonablemente que el campo todavía está en un$N$-Estado del número de fotones después. De donde: si realmente podemos suponer el mismo número de fotones, cada uno en el mismo estado que varía a lo largo del experimento, al principio y al final, entonces:

La energía de cada fotón debe ser proporcional a su frecuencia .

Y todo parece provenir completamente de la forma de la transformación de Lorentz y las ecuaciones de Maxwell.

Vale la pena señalar, al apelar al Teorema de Adiabaticidad de Born Fock, que este resultado es independiente de la velocidad del espejo $v$. Podemos enrollar los espejos tan lentamente como queramos, por lo que al menos hay una plausibilidad para esta idea. Por supuesto, hay un razonamiento circular aquí: uno tiene que definir los estados cuánticos correctamente para hablar de manera significativa sobre la adiabaticidad y, antes de eso, uno tiene que asumir el resultado de Planck, o algún otro postulado, para construir una segunda teoría cuantizada para hacer la idea. de una$N$-estado del número de fotones riguroso; incluso una vez que uno ha hecho eso, debo admitir que ni siquiera puedo ver cómo escribir una segunda descripción cuantizada de una cavidad con un espejo móvil, tal vez esa sea una pregunta nueva. Pero, si uno se imagina retrocediendo en el tiempo hasta los días de Planck, uno podría imaginar que un experimento mental como este podría haber sido tomado como motivador.$E = h \nu$. La idea de la segunda cuantización del campo electromagnético no comenzó a tomar forma hasta que Dirac pensó en ella 26 años después de que Planck propusiera su ley en 1900. Entonces, antes de las ideas de Dirac, la física tenía que pensar en términos como el experimento mental anterior que parece de nuestros puntos de vista iluminados en retrospectiva para estar rogando la pregunta. Tal vez, de hecho, a algún trabajador de principios del siglo XX se le ocurrió este experimento mental.

Algunos detalles

Aquí hay algunos detalles adicionales en mi experimento mental. Los cálculos son sencillos, pero complicados.

En primer lugar, consideramos una onda electromagnética unidimensional que se dispersa desde un reflector perfecto en el plano $z = 0$. A la izquierda del reflector, las ecuaciones de Maxwell se pueden cumplir mediante ondas planas unidimensionales con la forma:

donde $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ son respectivamente el campo eléctrico y la inducción magnética, $f$ cualquier forma de pulso arbitraria, $c$ la velocidad de la luz en el espacio libre, $\mathbf{J}_s$ corriente superficial (en amperios por metro) en el reflector perfecto, $\mathbf{F}_s$ fuerza por unidad de área sobre el conductor y $\mathcal{U}$la función de paso de Heaviside. La fuerza se calcula más directamente por el método del trabajo virtual; para entender el cálculo de la fórmula de la fuerza de Lorentz, se debe calcular la dispersión de un metal con conductividad finita$\sigma$como en el Método 3 de mi respuesta aquí , integre la densidad de fuerza del cuerpo$\mathbf{J} \wedge \mathbf{B}$ y luego tomar el límite como $\sigma \rightarrow \infty$, la profundidad de la piel $\delta \rightarrow 0$y la densidad de corriente del cuerpo se convierte así en una corriente superficial. Este resultado difiere por un factor de dos del resultado "alegre"$\mathbf{J}_s \wedge \mathbf{B}$obtenido aplicando la fórmula de la fuerza de Lorentz sin tener en cuenta el proceso limitante que define una hoja perfecta de conducción y corriente. Tácitamente, se ha asumido que la conductividad del avión$\sigma$ cumple $\sigma >> \omega_{max} \epsilon$ donde $\omega_{max}$ es la frecuencia más alta de un componente de Fourier "significativo" de $f_0()$.

Ahora queremos saber qué sucede cuando el reflector perfecto se desplaza hacia la izquierda para que su velocidad sea $-v \, \hat{\mathbf{z}}$. Por supuesto, el resultado se puede encontrar calculando los campos vistos por un observador que se mueve uniformemente a una velocidad$v\,\hat{\mathbf{z}}$. Al hacer la transformación de Lorentz relevante en la ecuación (1), se encuentra:

Estas ecuaciones son más significativas si las reescribimos de modo que $f_1\left(u\right) = \sqrt{\frac{c-v}{c + v}} \; f_0\left(\sqrt{\frac{c-v}{c + v}} \; u\right)$, es decir , cambiamos la escala de amplitudes y argumentos para que:

y las ondas reflejadas $\frac{c+v}{c-v}\,f_1\left(-\frac{c+v}{c-v} \left(z+ c\,t\right)\right)$ se dan en términos de las ondas incidentes $f_1\left(z- c\,t\right)$. Esta forma de las ecuaciones subyace a las relaciones causales habituales en tal sistema: la onda que corre hacia la derecha$f_1\left(z- c\,t\right)$ en cualquier punto de la región $z < 0$se encontrará con el reflector en el futuro, por lo que esta onda no debe estar influenciada por el reflector hasta el momento de la reunión. Por lo tanto, su forma y escala deben ser simplemente una versión retrasada de lo que dejó su origen en algún lugar lejano de la región.$z < 0$. La onda dispersa$\frac{c+v}{c-v}\,f_1\left(-\frac{c+v}{c-v} \left(z+ c\,t\right)\right)$ ya se ha encontrado con el reflector y ha sido desplazado Doppler por él (testigo de que el argumento se ha multiplicado por el factor Doppler al cuadrado $\frac{c+v}{c-v}$, de modo que las longitudes de onda se contraen por el factor $\frac{c-v}{c+v}$) y su intensidad potenciada por el factor $\left(\frac{c+v}{c-v}\right)^2$. Se debe realizar un trabajo positivo sobre el reflector para empujarlo hacia la izquierda a velocidad constante contra la presión fotónica.

Tenga cuidado de que las condiciones límite del campo electromagnético habituales no se cumplan para los límites móviles. La discontinuidad en los componentes del campo eléctrico tangencial se puede entender de la siguiente manera: a medida que el reflector y su corriente superficial avanzan hacia la izquierda, están sofocando el campo a su paso por completo. Así, si imaginamos una espira delgada cuyo plano es normal tanto al reflector como a la inducción magnética y con ancho$\Delta z$ en el $z$ dirección y longitud $\ell$ a lo largo de la dirección del campo magnético, el flujo magnético a través de este bucle va de $\left|\mathbf{B}\right| \ell \Delta z$ a tiempo $\Delta z / v$ a medida que el reflector pasa por el bucle, por lo tanto, debe haber una diferencia $\left|\Delta \mathbf{E}\right|$entre los campos eléctricos a lo largo de los lados largos del bucle, es decir $\left|\Delta \mathbf{E}\right| \ell = \left|\mathbf{B}\right| \ell v$ como $\Delta z \rightarrow 0$, de ahí la discontinuidad $2 \, v f(0) / (c-v)$en el campo eléctrico. De nuevo, la electrodinámica de esta discontinuidad se entiende mejor haciendo los cálculos a una conductividad finita (eliminando así la discontinuidad) y pasando al límite de conductividad infinita.

Ahora cambiamos el reflector a una posición arbitraria $z$-posición $a$:

luego transforme la notación funcional para que $f\left(t - \frac{z}{c}\right) = f_1\left(z - c\,t - a\right)$:

e imagine un segundo reflector inmóvil en $z = 0$para considerar un resonador de cavidad unidimensional como se muestra en el dibujo. El resonador de la cavidad se está "encogiendo" y la luz dentro de él se está "aplastando". Se cumplen condiciones de contorno muy parecidas a las de la ecuación (1), lo que implica la "condición de bucle":

y la intensidad y la frecuencia del campo crecen exponencialmente juntas, es decir , varían como$\left(\frac{c+v}{c-v}\right)^n$con el número de circulación de la cavidad $n$.

Supongamos que en $t = 0$, la forma funcional de la onda de la cavidad que corre hacia la derecha es $g_+(z), \;0\leq z \leq a$y que no hay ola corriendo hacia la izquierda. El borde rezagado (más a la izquierda) de la onda se encuentra con el reflector derecho ( es decir , el que estaba en la posición$z = a$ en el momento $t = 0$) en el momento $t = a / (c + v)$. Del mismo modo, el borde de ataque de la onda aumenta en amplitud por un factor$(c+v)/(c-v)$ y se encuentra con el reflector izquierdo (en $z = 0$) un poco más tarde en el tiempo$t = a / c$. Entonces, en este momento, la onda ahora corre completamente hacia atrás (hacia la izquierda), toda su longitud aún cabe en la cavidad acortada y todavía tiene la misma forma funcional, pero con un "aplastado".$z$-dependencia; su forma funcional es ahora$\frac{c+v}{c-v} g_+\left(a - \frac{c+v}{c-v}\,z\right)$ por $0 \leq z \leq \frac{c-v}{c+v} a$, mientras que la longitud de la cavidad es ahora $\frac{c-v}{c} a$, es decir , más largo que la extensión de la onda. Ahora repetimos el razonamiento para la dispersión de ondas del reflector izquierdo. Esta vez no hay desplazamiento Doppler ni refuerzo de amplitud, y el tiempo que tarda el borde de ataque de la onda en pasar del reflector izquierdo al derecho es$\frac{c-v}{c+v} \frac{a}{c}$, es decir , exactamente la duración temporal de la onda y esta duración a su vez es exactamente el tiempo que tarda en alcanzar el borde retrasado de la onda$z = 0$. Así, después de un tiempo total$t = 2\frac{a}{c + v}$ la onda ha vuelto a su forma original, aunque su amplitud ha sido impulsada por un factor $\frac{c+v}{c-v}$, su forma funcional es ahora $g_+(\frac{c+v}{c-v}\,z),\; 0\leq z \leq \frac{c-v}{c+v}\, a$, la longitud de onda $\frac{c-v}{c+v}\, a$ para que encaje exactamente en su nueva longitud de cavidad $a^\prime = \frac{c-v}{c+v}\, a$. Podemos repetir el análisis para una onda que corre hacia atrás$g_-(z), \;0\leq z \leq a$y suponga que no hay una onda de marcha hacia adelante. El resultado es naturalmente el mismo: después de un tiempo de circulación$t = 2\frac{a}{c + v}$, la onda ha vuelto a ser una onda que corre completamente hacia atrás, su amplitud ha sido impulsada por el factor $\frac{c-v}{c+v}$ y su argumento ha sido encogido (desplazado hacia el azul) para que encaje exactamente en la cavidad encogida, que ahora tiene una longitud $a^\prime = \frac{c-v}{c+v}\, a$. Por lo tanto, si la cavidad comienza con variaciones de marcha hacia adelante y hacia atrás$g_+(z),\; g_-(z)$ respectivamente para $0\leq z \leq a$, los siguientes parámetros definen $n^{th}$ cavidad ida y vuelta:

por lo tanto, la luz dentro de la cavidad se desplaza infinitamente hacia el azul y las necesidades de potencia y presión de este proceso aumentan sin límites a medida que la cavidad se acerca a la longitud cero. Tenga en cuenta que se pueden obtener resultados análogos para una velocidad de reflector$v\left(t\right)$que varía con el tiempo. En este caso, las formas funcionales$g_+(z)$ y $g_-(z)$en general, se estiran y contraen de manera no uniforme para tener en cuenta la variación de la velocidad dentro de cada período de circulación. Los resultados en la ecuación (7) se reemplazan por definiciones promedio efectivas, pero los resultados fundamentales de que la energía total de la cavidad y el corrimiento al azul medio son ambos inversamente proporcionales a la longitud de la cavidad son iguales e independientes de la variación de tiempo detallada. Entonces, no importa cómo se llegue allí, la energía de la cavidad y el desplazamiento al azul medio dependen solo de la longitud actual de la cavidad.

Maxwell asume solo que una partícula tiene carga, no que un electrón tiene una frecuencia que depende de su masa en reposo. Entonces uno no puede deducir la constante de Planck de Maxwell. de Broglie arregló eso.