¿Podría la ecuación de Navier-Stokes derivarse directamente de la ecuación de Boltzmann?

Sé cómo derivar las ecuaciones de Navier-Stokes a partir de la ecuación de Boltzmann en caso de que los coeficientes de volumen y viscosidad se establezcan en cero. Solo necesito multiplicarlo en cantidad de movimiento e integrarlo en velocidades.

Pero cuando traté de derivar ecuaciones NS con viscosidad y coeficientes de volumen, fracasé. La mayoría de los libros de texto contienen las siguientes palabras: "para tener en cuenta el intercambio de partículas entre capas de fluidos, necesitamos modificar el tensor de densidad de flujo de momento". Entonces afirman que las ecuaciones NS con viscosidad no se pueden derivar de la ecuación de Boltzmann, ¿o sí?

La ecuación objetivo es

∂ t ( ρ v 2 2 + ρ ϵ ) = − ∂ X i ( ρ v i ( v 2 2 + w ) − σ i j v j − k ∂ X i T ) ,
dónde
σ i j = η ( ∂ X [ i v j ] − 2 3 d i j ∂ X i v i ) + ε d i j ∂ X i v i ,
w = m − T s corresponde a la función de calor, ϵ se refiere a la energía interna.

Editar. Parece que tengo esta ecuación. Después de multiplicar la ecuación de Boltzmann en metro ( v − tu ) 2 2 e integrándolo sobre v Tengo una ecuación de transporte que contiene objetos.

Π i j = ρ ⟨ ( v − tu ) i ( v − tu ) j ⟩ , q i = ρ ⟨ ( v − tu ) 2 ( v − tu ) i ⟩
Para calcularlo necesito saber una expresión para la función de distribución. Para simplificar, he usado la aproximación tau; al final tengo expresión F = F 0 + gramo . Una expresión para Π i j , q i entonces son representados por
Π i j = d i j PAGS − m ( ∂ [ i tu j ] − 2 3 d i j ∂ i tu i ) − ϵ d i j ∂ i tu i ,
q i = − k ∂ i T ,
así que tengo el resultado deseado.

Parece estar hecho en Landau y Lifshitz 10, Capítulo 1.
@RobinEkman: ¿te refieres a "Cinética"?
Si, eso es correcto.
Busque las ecuaciones de Chapman Enskog.
@RobinEkman, no me sorprende... todo está en Landau y Lifshitz. Disfruto especialmente su receta de pan de plátano.
@RobinEkman: Pero no veo la derivación allí. Solo hay derivación de la ecuación de Boltzmann con tensor de tensión. ¿Debería multiplicarse por metro v 2 2 e integrado sobre v para obtener la ecuación de hidrodinámica con la viscosidad?
@NameYYY: todas las ecuaciones de fluidos son efectivamente momentos de la ecuación de Boltzmann. Las ecuaciones de Navier-Stokes son solo los efectos combinados de las ecuaciones de momento cero a segundo o tercero, según el problema. Así que supongo que estoy un poco confundido. La viscosidad es solo otra forma de decir términos fuera de la diagonal en un tensor de presión o que hay j-momento transportado a través del i-ésimo plano.
Dado que esta pregunta ha sido respondida, se actualizará.

Respuestas (2)

Para abordar específicamente una pregunta más reciente que se cerró como un duplicado de esta:

  • De hecho, la ecuación de Boltzmann se basa en la suposición del caos molecular , lo que significa que las velocidades de las partículas no están correlacionadas antes de la colisión, pero no excluye las colisiones y la transferencia de energía, lo que lleva a la disipación (en particular, a la viscosidad).
  • Desde el punto de vista de la jerarquía de ecuaciones BBGKY , la ecuación de Boltzmann y el caos molecular significan trancar esta jerarquía y asumir una forma específica de la integral de colisión en las ecuaciones de primer orden. Sin embargo, ocasionalmente se usa el término ecuación de Boltzmann para la primera ecuación en esta jerarquía sin especificar explícitamente la forma del término de colisión, lo que, en principio, permite derivar los resultados que están más allá de la suposición del caos molecular; este parece ser el punto de vista adoptado en el artículo de Wikipedia sobre la teoría de Champan-Enskog .
  • Bajo el supuesto de equilibrio termodinámico local , la integral de colisión es cero, y tal ecuación de Boltzmann sin colisiones da como resultado ecuaciones hidrodinámicas sin términos viscosos (es decir, ecuaciones de Euler ).
  • Relajar la suposición del equilibrio termodinámico local, es decir, dar cuenta de la relajación local a la distribución de equilibrio local, permite derivar las ecuaciones de Navier-Stokes. Ver, por ejemplo, estas notas para una breve introducción y esta revisión para un tratamiento más riguroso.

Creo que tenías razón. El término viscoso en las ecuaciones NS no puede derivarse de las ecuaciones de Boltzmann. Si deriva las leyes de conservación de las ecuaciones de Boltzmann utilizando la aproximación de primer orden, obtendrá un término de fuerza, que debe incluir la presión, las fuerzas viscosas y las fuerzas externas que se muestran en las ecuaciones NS.

Creo que la aproximación del término viscoso en las ecuaciones NS (tensión viscosa relacionada con el gradiente de velocidad) se construyó desde una perspectiva continua, con la forma del tensor satisfaciendo ciertas propiedades simétricas de un tensor de tensión. Consulte, por ejemplo, "Una introducción a la dinámica de fluidos" de GK Batchelor para una buena discusión.

Sin embargo, lo que he visto es la derivación de la viscosidad asumiendo un perfil de velocidad de la ecuación de Boltzmann linealizada. Es una pregunta del libro de texto "Física estadística de partículas" de Kardar, cap. 3 preguntas 9.

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