¿Por qué las descomposiciones como 16⊗16=10⊕120⊕12616⊗16=10⊕120⊕12616 \otimes 16 = 10 \oplus 120 \oplus 126 nos dicen qué representaciones de Higgs podemos usar?

Permítame intentar responder a su pregunta, ya que su pregunta es sobre el modelo GUT SO (10) , por lo que supondré que tiene el conocimiento de una versión más simple de GUT, a saber, el modelo GUT SU (5) y también un poco de teoría de grupos .

Tienes 4 preguntas diferentes >>>

01. ¿No es este término ($\psi^{T} C \psi$) ya invariante bajo SO(10)?

02. ¿Este término no ($\psi^{T} C \psi$) producir términos de masa de Majorana?

03. ¿Por qué los términos ($\psi^{T} C \psi \phi_{10}$) de esta forma invariante ?

04. ¿Por qué la descomposición citada arriba ($16 \times 16= 10+120+126$) nos dice qué representación de Higgs debemos usar para obtener términos invariantes?

Dado que todas estas preguntas están interrelacionadas, a veces, al responder, es posible que no pueda seguir el orden particular, pero mezclo las cosas. Me disculpo por eso. De todos modos,

ANS a QUS#01: ¡sí lo es! SO(10) es un grupo ortogonal, por lo que cualquier cantidad invariante de SO(10) (por ejemplo, X ) debe permanecer igual bajo la rotación del grupo, es decir,$O^{T}XO=X$, así que tienes razón en eso.

ANS a QUS#02: el término ($\psi^{T} C \psi$) no es un término de masa ni un término de Yukawa, es solo un fermión bilineal invariante . Para comprender cómo formar fermiones bilineales y también cuántos de tales términos son posibles, consulte cualquier libro introductorio de física de partículas/teoría de campos, como por ejemplo: Introducción a las partículas elementales--D. Griffiths; capítulo n.° 07, página n.° 224, ecuación n.° 7.68 [ http://www.amazon.com/Introduction-Elementary-Particles-David-Griffiths/dp/3527406018 ].

RESPUESTA a QUS#03 y #04: ahora, para generar masa para los fermiones, primero necesita construir términos de acoplamiento de Yukawa en el Lagrangiano . Recuerda siempre dos cosas,

(a) estructura del acoplamiento Yukawa $\sim$ fermión * fermión * escalar de Higgs , y

(b) El lagrangiano siempre tiene que ser invariante de grupo .

De (a) obtenemos para SO(10),$16\times 16 \times Higgs$pero de (b) esta representación de Higgs tiene que elegirse de tal manera que dichos términos sean invariantes. En esta etapa necesitas un poco de teoría de grupos . La teoría de grupos dice,$16 \times 16= 10+120+126$, que dice, fermión * fermión$\neq 1$($1=$singlete de grupo y singletes son invariantes de grupo). Por lo tanto, para formar el acoplamiento de Yukawa que tiene que ser invariante de grupo, las únicas opciones que tiene son 10,120 o 126 representaciones, elegir cualquier otra representación en SO (10) no le dará un singlete. Para comprender en detalle por qué otras representaciones de Higgs no forman un singlete, consulte con Teoría de grupos para la construcción de modelos unificados: R. Slansky; página #105 [ http://inspirehep.net/record/10204?ln=en ]. Esto responde a QUS#04 y QUS#03 .

Ahora, mientras respondía a QUS#02 arriba, fui muy breve, para explicarlo claramente, necesito los elementos del último párrafo. Así que volvamos a tu QUS#02 .

Ahora sabes que los posibles términos de acoplamiento de Yukawa son:

(i)$16_{F} \times 16_{F} \times 10_{H}$

(ii)$16_{F} \times 16_{F} \times 120_{H}$

(iii)$16_{F} \times 16_{F} \times 126_{H}$

,F y H representan Fermion y Higgs respectivamente.

Para la minimalidad de los modelos SO(10) GUT, no se utiliza la representación 120 de Higgs, por lo que no hablaré de ello, sino que me concentraré en las representaciones dimensionales 10 y 126.

Supongamos que ya conoce SU(5) GUT ya que su pregunta implica SO(10) GUT. Una vez más, a partir de la teoría de grupos se pueden escribir las reglas de ramificación de las representaciones que nos interesan para SO(10)-->SU(5) Teoría de grupos para la construcción de modelos unificados--R.Slansky; página #106 como:

(A)$16=1+\bar{5}+10$

(B)$10=5+\bar{5}$

(C)$126=1+5+\bar{10}+...$(los puntos significan representaciones de dimensiones superiores que no nos interesan).

Ahora, si sustituye estos en los acoplamientos de Yukawa, obtendrá 10 términos que son invariantes, pero solo elegiré dos de ellos para ilustración y para atacar su pregunta de masa de Majorana que le interesa.

(i)$1_{F}\times \bar{5}_{F} \times 5_{H}$

(ii)$1_{F}\times 1_{F}\times 1_{H}$

Si conoce SU(5) GUT, ya sabe que el primer término (i) es un término de masa de Dirac , mientras que el segundo término (ii) es un término de masa de Majorana , ya que sus formas básicas son:

Masa de Dirac$\sim$Fermión diestro * Fermión zurdo * Higgs = R * L *$\langle\phi_{H}\rangle$

Misa Majorana$\sim$Fermión diestro * Fermión diestro * Higgs = R * R *$\langle\phi_{H}\rangle$

(en$\phi_{H}$pongo$\langle\phi_{H}\rangle$para representar el valor esperado del vacío [vev en resumen], ya que para dar masa a los fermiones, los campos escalares tienen que obtener vev [para comprender vev, consulte cualquier libro de introducción a la teoría de campos como, por ejemplo: Teoría de campos cuánticos---L.Ryder, capítulo #08 ] )

porque en (i)$1_{F}$contiene neutrinos dextrógiros y$\bar{5}_{F}$contiene neutrinos zurdos y, por lo tanto, masa de tipo Dirac ; por el contrario, en (ii) ambos$1_{F}$contienen neutrinos dextrógiros y masas de tipo Majorana .

Espero que ayude, ¡Gracias!

@SAS respondió la mayoría de las preguntas, sin embargo, creo que hay un punto crucial que aún debe abordarse: la quiralidad.

De hecho, no es obvio a priori por qué

$$\Psi^T C \Psi\,\Phi\,,$$ (dónde $\Phi$es una representación de Higgs) conduce a masas de tipo Dirac en lugar de masas de Majorana. ¿Por qué no lo común? $\bar\Psi \Psi$?

Resulta ser el caso en GUT porque unificamos los fermiones 'derechos' y 'izquierdos' de SM en una sola representación. Para simplificar las cosas, podemos definir un multiplete con solo una quiralidad usando la conjugación de carga (esta operación se encuentra fuera del grupo, por lo que define dos estados diferentes que no están relacionados por ninguna transformación de grupo):

$$\psi_L^c\equiv P_L \psi^c = (\psi_R)^c.$$

Usando solo campos para zurdos, podemos definir$\Psi =\Psi_L= (e, e^c,...)_L$. Ahora, sabemos que podemos formar una masa de Dirac con$e_L$y$e^c_L$como

$$m\,(e^{cT}_L C e_L + hc) = m\,(\overline{e_R} e_L +hc).$$ Entonces, para obtener este formulario usando $\Psi_L$todo lo que tenemos que hacer es: $$\Psi_L^T C \Psi_L<\Phi> =m\, e^{cT}_L C e_L +...= m\, \overline{e_R}e_L+...$$

Qué es$\Phi$?

El acoplamiento yukawa es de la forma$\Psi \Psi \Phi$(La transposición y$C$no conjugue ninguna representación). Y sabemos que esto tiene que ser invariante. En$SO(10)$, con$\Psi \sim \mathbf{16}$, las únicas invariantes que podemos construir de esta forma son:

$$\mathbf{16}_i.\mathbf{16}_j.[(\mathbf{10}+\mathbf{126})_s+\mathbf{120}_a]$$ (puedes verificar que $10+120+126=16^2$.) El subíndice $s$y $a$representan contracciones simétricas y antisimétricas. También incluí los índices familiares. $i$y $j$. En principio, cualquiera de esta representación escalar da masas de fermiones. Sin embargo, para obtener el espectro real del SM se requiere una combinación especial.

Por lo general, se supone que el SM Higgs está en el$\mathbf{10}$, pero podría ser así en$\mathbf{126}$dependiendo del modelo y otros detalles; no hay una respuesta directa a esta pregunta.

Por último, sobre su última edición y el comentario sobre las estadísticas de Fermi-Dirac: no creo que esto tenga ningún sentido. Podemos usar una representación anti-sim (como$\mathbf{120}$arriba) sin ningún problema.