¿Puede el bosón de calibre respectivo de un generador roto espontáneamente permanecer sin masa en el contexto del Mecanismo de Higgs?

TL;DR: No, eso no es posible en circunstancias normales.

1. Por simplicidad, consideremos la ruptura de simetría espontánea (SSB) del grupo

   $$G~=~ U(N+1) \quad \longrightarrow\quad H~=~ U(N),$$ es decir, hay $$\dim_{\mathbb{R}} G-\dim_{\mathbb{R}} H~=~ (N+1)^2-N^2~=~2N+1$$ generadores rotos.

2. En el nivel de álgebra de Lie , esto corresponde al ejemplo de OP para$N=2$y a SSB electrodébil para$N=1$porque$^1$

   $$u(N)\cong su(N)\oplus u(1), \qquad u(N\!+\!1)\cong su(N\!+\!1)\oplus u(1).$$ Esto es lo suficientemente bueno para contar DOF s.

3. Sea el campo escalar$\Phi$transformarse en la representación fundamental/definitoria$V\cong \mathbb{C}^{N+1}$de$G$. Suponga que tiene un VEV distinto de cero $\Phi_0\neq 0$. Para ser concretos, por un global$G$transformación podemos suponer que

   $$\Phi_0~\propto~ \begin{pmatrix} 0\cr \vdots \cr 0 \cr 1 \end{pmatrix}~\in~V.$$

4. El subgrupo estabilizador/isotropía es

   $$H~\cong~\begin{pmatrix} H \cr & 1 \end{pmatrix}_{(N+1)\times (N+1)} ~ \subseteq~G.$$

5. En calibre unitario$^2$podemos suponer que el campo escalar (incluidas las fluctuaciones cuánticas) es de la forma

   $$\Phi ~\in~ \{0\}^N\times \mathbb{R},$$ es decir, solo hay 1 bosón de Higgs físico real. El restante$2N+1$las fluctuaciones son devoradas por la simetría de calibre (a lo largo de las direcciones rotas).

6. Los términos de masa para los campos de norma provienen del término lagrangiano$|D_{\mu}\Phi_0|^2$. Esto hace precisamente$2N+1$componentes de los campos de calibre$A_{\mu}\in \mathfrak{g}=u(N\!+\!1)$masivas, es decir, las de la última columna.

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$^1$ $SU(1)=\{1\}$y$su(1)=\{0\}$son singletons.

$^2$El calibre unitario es aquí una condición de fijación del calibre parcial que fija la simetría del calibre a lo largo de las direcciones rotas. En última instancia, también deberíamos arreglar el$H$-Simetría de calibre, pero esa es otra historia.