¿Por qué solo hay dos términos de Higgs cuarticos linealmente independientes para el 242424 adjunto en SU(5)SU(5)SU(5) GUT?

He leído la declaración en innumerables artículos, por ejemplo, aquí Eq. 4.2 o aquí la Ec. 2.1 sin más explicación o referencia, que el "potencial de Higgs renormalizable más general" para un Higgs adjunto (= 24 dimensional) ϕ es

V ( ϕ ) = − 1 2 m 2 T r ( ϕ 2 ) + 1 4 a ( T r ( ϕ 2 ) ) 2 + 1 2 b T r ( ϕ 4 )

donde descuidé el término cúbico por brevedad.

En términos de teoría de grupos, este potencial se puede escribir como

V ( ϕ ) = − 1 2 m 2 ( 24 ⊗ 24 ) 1 s + 1 4 a ( 24 ⊗ 24 ) 1 s ( 24 ⊗ 24 ) 1 s + 1 2 b ( ( 24 ⊗ 24 ) 24 ( 24 ⊗ 24 ) 24 ) 1 s

Sin embargo, la teoría de grupos pura nos dice que hay varias otras invariantes cuárticas posibles. Tenemos

24 ⊗ 24 = 1 s ⊕ 24 s ⊕ 24 a ⊕ 75 s ⊕ 126 a ⊕ 126 a ¯ ⊕ 200 s ,

donde cada representación se denota por su dimensión y los subíndices s y a denotan simétrica y antisimétrica respectivamente. Ingenuamente, diría que tenemos 7 invariantes cuarticas:

( ( 24 ⊗ 24 ) 1 s ( 24 ⊗ 24 ) 1 s ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 24 s ( 24 ⊗ 24 ) 24 s ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 24 a ( 24 ⊗ 24 ) 24 a ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 75 s ( 24 ⊗ 24 ) 75 s ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 126 a ( 24 ⊗ 24 ) 126 a ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 126 a ¯ ( 24 ⊗ 24 ) 126 a ¯ ) 1 + ( ( 24 ⊗ 24 ) 200 s ( 24 ⊗ 24 ) 200 s ) 1 ,

porque

1 s ⊗ 1 s = 1 24 s ⊗ 24 s = 1 75 s ⊗ 75 s = 1 mi t C .

Por lo tanto, mi pregunta: ¿ Por qué faltan todos estos otros productos en el "potencial renormalizable más general"? Tal vez solo dos de estos siete términos sean linealmente independientes, pero, al menos para mí, esto está lejos de ser obvio. Y además, ¿por qué exactamente estos dos son una opción linealmente independiente adecuada?

Su razonamiento de la teoría de la representación falla (además de algunos posibles errores en los cálculos) porque necesita considerar productos tensoriales simétricos: solo tiene 1 ϕ y no 4 diferentes ϕ 's.

Respuestas (1)

La respuesta más fácil a su pregunta se puede obtener de un buen libro de F. Iachello, Lie Algebras and Applications , Lect. Notas Phys. 708 (Springer, Berlín Heidelberg 2006), DOI 10.1007/b11785361 , ISBN-10 3-540-36236-3

SU(5) (~ A4) tiene rango 4 y, por lo tanto, 4 invariantes de Casimir independientes (su φ se transforma como los generadores adjuntos del álgebra de Lie). Los invariantes son cuadrático, cúbico, cuártico y quíntico. El último proporcionaría una interacción de Higgs no renormalizable. La cúbica fue rechazada por decreto (se impuso la simetría de isoparidad discreta BEGN) básicamente para simplificar el modelo y el análisis. Por lo tanto, debe tomar como una cuestión de confianza en el libro que la invariante cuartica es, de hecho, independiente de la cuadrática. Desafortunadamente, sin embargo, lo has distorsionado por completo.

Lo que se multiplica por b en su segunda fórmula debería haber sido, en su idioma idiosincrásico,

1 2 b T r ( ϕ 4 ) ↦ 1 2 b ( 24 ⊗ 24 ⊗ 24 ⊗ 24 ) 1 s .
Es decir, no es necesario que sus cuatro 24 se compongan por parejas en 24, ¡que luego se componen en un singlete!

Su primer y segundo término son el invariante cuadrático y su cuadrado, pero el último es el invariante cuartico, que podría convencerse a sí mismo es independiente de él, pero, para obtener detalles ingeniosos, debe presionar el libro (s). Puede contrastar esto con el adjunto de SU(2), rango 1, donde solo hay un invariante, entonces, necesariamente, T r ( ϕ 4 ) ∝ ( T r ϕ 2 ) 2 , fácil de verificar al diagonalizar φ , como en su referencia de Ruegg.

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