¿Cómo se transforma un triplete de Higgs bajo SU(2)L×U(1)YSU(2)L×U(1)YSU(2)_L \times U(1)_Y cuando se escribe como 2×22×22\times 2 matriz?

De hecho, un triplete$\vec{\phi}$transformando bajo las matrices de representación de triplete T se puede dotar a un vector de Pauli para producir un adjunto formal, por lo que una matriz de 2 × 2 sin rastro

$$\Phi=\tfrac{1}{2}\vec{\phi}\cdot \vec{\tau}~,$$ transformándose como la representación del doblete, conjugadamente en ambos lados. Esto se denomina acción conjunta , $$\Phi \mapsto e^{i\vec{\tau}\cdot \frac{\vec{\theta}}{2}}~ \Phi ~e^{-i\vec{\tau}\cdot \frac{\vec{\theta}}{2}}.$$

En tu caso,

$$\begin{equation} \Delta=\begin{pmatrix} \frac{\Delta^{+}}{\sqrt{2}} & \Delta^{++} \\ \Delta^0 & - \frac{\Delta^{+}}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}= \sqrt{2}\Delta^+ \frac{\tau_3}{2} +\Delta^{++} \frac{\tau_1+i\tau_2}{2} + \Delta^0 \frac{\tau_1-i\tau_2}{2} = \sqrt{2}\Delta^+ \frac{\tau_3}{2} +\Delta^{++} \frac{\tau_ +}{2} + \Delta^0 \frac{\tau_-}{2} \\ = \begin{pmatrix}\Delta^{++}+\Delta^0\\i(\Delta^{++}-\Delta^0)\\\sqrt{2}\Delta^+ \end{pmatrix}\cdot \frac{\vec{\tau}}{2}, \end{equation}$$ donde se nota la normalización $$\vec{\bar{\phi}}\cdot \vec{ \phi }=2(\Delta^{++~~2}+\Delta^{+~~2}+\Delta^{0~~2}).$$ Puede ver fácilmente, entonces, que el 3 vector cartesiano se puede rotar unitariamente al vector de base esférica más transparente $\sqrt{2}(\Delta^{++},\Delta^+, \Delta^0)$. La matriz $U^\dagger$lograr ese cambio de base cartesiana a esférica se da en la nota al pie nb 3 del artículo de WP o esta respuesta . En una forma inocuamente modificada, $$U^\dagger \begin{pmatrix}\Delta^{++}+\Delta^0\\i(\Delta^{++}-\Delta^0)\\\sqrt{2}\Delta^+ \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{matrix} 1 & -i & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & i & 0\end{matrix}\right) ~\begin{pmatrix}\Delta^{++}+\Delta^0\\i(\Delta^{++}-\Delta^0)\\\sqrt{2}\Delta^+ \end{pmatrix}= \sqrt{2}\begin{pmatrix}\Delta^{++}\\\Delta^+ \\ \Delta^0 \end{pmatrix}.$$

• Para confirmar la normalización del medio ángulo y los signos, tome solo la tercera componente de θ como infinitesimal y no nula, por lo que el incremento de rotación de Δ es una matriz más simple con diagonales nulas. Compruebe que los componentes de incremento de$\vec{\phi}$ahora están dados por conmutadores (adjuntos) y se corresponden completamente con el incremento de producto cruzado clásico de la representación de triplete que especificó. Entonces es evidente al conmutar con$\tau_3/2$que el$T_3$valores propios del triplete$(\Delta^{++},\Delta^+, \Delta^0)$son (1,0,-1), de modo que su$Y=Q-T_3=1$. Normalizo la hipercarga débil de la manera moderna ("alternativa"), es decir, eliminando el denominador fuerte superfluo de 2.

• Puede encontrar la derivación de T a todos los órdenes a través de esta construcción en esta respuesta .