Estoy estudiando más a fondo la mecánica de fluidos durante mi doctorado y hay algo relacionado con el término difusivo que me preocupa desde hace mucho tiempo. Mirando la ecuación de difusión de convección:
y pensando en la ley de Fick, no me cuesta pensar en la difusión como el proceso por el cual, por ejemplo, las partículas de una disolución con gradiente de concentración se separan unas de otras para "reducir" la energía del sistema; siendo, cada una de estas partículas, más "cómodas" dentro del disolvente, lo que equivale a decir "con el mayor camino libre medio posible".
Pero ahora, cuando miro la ecuación de Navier Stokes (incomprensible y viscosa):
Puedo ver fácilmente el término viscoso como difusivo, pero no puedo relacionarlo con la ley de Fick. Entonces, alguien me puede explicar cómo puedo ver la viscosidad como un proceso difusivo.
Si está interesado en por qué pregunto esto, es porque en FEM hay un método de estabilización llamado viscosidad artificial que agrega algo de viscosidad para aumentar la difusión y hacer que el modelo sea más estable. Entonces entiendo a) por qué la viscosidad artificial aumenta la difusión, b) por qué la difusión estabiliza la ecuación; pero no entiendo por qué la viscosidad es difusiva (además del hecho de que se esta multiplicando )
Sí, escribí algo así en el artículo de wikipedia ...
La correspondencia [entre la ecuación de Navier-Stokes y la ecuación de convección-difusión] es más clara en el caso de un fluido newtoniano incompresible, en cuyo caso la ecuación de Navier-Stokes es:
donde M es la cantidad de movimiento del fluido (por unidad de volumen) en cada punto (igual a la densidad multiplicado por la velocidad v ), es la viscosidad, P es la presión del fluido y f es cualquier otra fuerza del cuerpo, como la gravedad. En esta ecuación, el término del lado izquierdo describe el cambio de cantidad de movimiento en un punto dado; el primer término de la derecha describe la viscosidad, que en realidad es la difusión del impulso; el segundo término de la derecha describe el flujo advectivo del impulso; y los dos últimos términos a la derecha describen las fuerzas externas e internas que pueden actuar como fuentes o sumideros de cantidad de movimiento.
Entonces su pregunta es: ¿POR QUÉ la viscosidad es "realmente la difusión del impulso"?
Bueno, piensa en lo que hace la viscosidad. Si tiene dos regiones cercanas de fluido con momentos muy diferentes, digamos una región de movimiento lento justo al lado de una región de movimiento rápido, la viscosidad describe el proceso por el cual la región lenta toma parte del impulso de la región rápida, de modo que el la región lenta se mueve más rápido y la región rápida se mueve más lento.
Básicamente, el impulso se "difunde", provocando que las regiones cercanas adquieran impulsos similares. Ese es el efecto de la alta viscosidad.
Entonces, si lo piensa de manera macroscópica e intuitiva, tiene sentido que el impulso satisfaga una ecuación de difusión con un coeficiente de difusión proporcional a la viscosidad.
Bien, esa es mi respuesta. Si, en cambio, está buscando una prueba matemática que comience con la definición de viscosidad y termine con un término similar a la difusión, no conozco esa prueba de inmediato (aunque estoy seguro de que existe). Tal vez alguien más te dé una respuesta en ese sentido. :-D
Creo que el capítulo 1-3 del libro Transport Phenomena de Bird et al. podría ayudar a entender por qué.
En resumen, considere el tensor de tensión . Tenemos en la ecuación de Navier Stokes como el término viscoso. No es difícil ver que este también es un término de difusión donde se puede definir un tensor de flujo efectivo como
Un buen resumen del transporte de cantidad de movimiento de los fluidos (es decir, la ecuación de Navier-Stokes) se encuentra en la ecuación 3.2-9. La difusión es sinónimo de transporte molecular o de partículas fluidas.
Referencia: Bird, RB, Stewart, WE y Lightfoot, EN (agosto de 2001). Fenómenos de transporte (Segunda ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-41077-2.
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