¿Por qué la velocidad de la masa es v/cosθv/cos⁡θv/ \cos θ ? ¿Por qué no 2vcosθ2vcos⁡θ2v \cos θ?

Imagina lo que sucedería si las dos poleas estuvieran muy juntas, de modo que$\theta$es muy cercano a cero y$\cos\theta$está muy cerca de uno.

En ese caso, la masa en el medio se elevará con una velocidad muy cercana a$v$- y sube al mismo ritmo sin importar cuántas de las otras masas estén presentes. Por lo tanto, su velocidad no puede ser$\frac{2v}{\cos\theta}$. debe ser$\frac{v}{\cos\theta}$.

Como hay cuatro opciones, podemos decir la respuesta inmediatamente dejando$\theta$ir a$0$y$\frac{\pi}{2}$. Dejando$\theta$ir a$0$, podemos eliminar 3) y 4), como lo menciona @Dawood ibn Kareem; Dejando$\theta$ir a$\frac{\pi}{2}$, podemos eliminar 1).

De lo contrario, podemos obtener este resultado con algún cálculo. Para simplificar la descripción, supongamos que las poleas son infinitesimales (esto no cambia el problema). Indica la distancia entre$A$y$B$por$2d$, la distancia entre$A$y$P$por$y$, la distancia vertical entre$A$y el punto de suspensión por$x$. Ahora que la cuerda no se puede estirar, sabemos

(a)$u \cos\theta = v$es correcto. El punto de intersección de las 3 cuerdas (que llamaré Y) se mueve hacia arriba con velocidad$u$. Este punto Y está al final de las dos cuerdas unidas a P y Q. Cada cuerda AY y BY se acorta a la velocidad$v$, por lo que la componente de velocidad de Y a lo largo de la dirección de cada cuerda debe ser$v$. Por lo tanto$v=u\cos\theta$es correcto.

(b)$u=v\cos\theta$no es correcto. El punto en el que la cuerda está unida a la polea P (llamaré a este punto A) se mueve con velocidad$v$en ángulo$\theta$a la vertical Sin embargo, el movimiento de Y no es lo mismo que el movimiento de A. Además de moverse con velocidad$v$en la dirección AY, la cuerda AY también gira alrededor del punto A. El ángulo$\theta$está cambiando. Entonces, el movimiento de Y (en el otro extremo de la cuerda AY) es la suma de la componente radial a lo largo de AY y una componente tangencial perpendicular a AY. Escribiendo$u=v\cos\theta$ignora este movimiento tangencial de Y perpendicular a AY.

La diferencia entre (a) y (b) es que en (a) el punto Y no tiene movimiento perpendicular a la vertical, mientras que en (b) el punto Y tiene un componente de movimiento perpendicular a AY.

Si la sección de la cuerda AY no gira pero mantiene un ángulo constante$\theta$con la vertical, entonces los puntos A e Y tendrían la misma velocidad, tanto en dirección como en magnitud. En este caso$u=v\cos\theta$seria correcto Sin embargo, Y no se movería verticalmente en este caso. Se estaría moviendo a lo largo de AY. No puede moverse a lo largo de BY y AY al mismo tiempo, porque entonces Y tendría que dividirse.

Note que si las masas P y Q no se mueven con la misma velocidad$v$(lo que podría suceder si tienen diferentes pesos), o si los ángulos$\theta$a cada lado de la vertical son diferentes (lo que podría suceder si Y no está en la línea media entre A y B), entonces la velocidad de Y no será vertical. Como resultado, tampoco$v=u\cos\theta$ni$u=v\cos\theta$será correcto.