Una solución más intuitiva para la cinemática del sistema polea-cuerda

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Una solución más intuitiva para la cinemática del sistema polea-cuerda

cadena
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shivams

Aquí hay un problema cinemático que resolví usando un enfoque geométrico riguroso. Sin embargo, un estudiante de secundaria sugirió un enfoque diferente más rápido, que tiene sus propias complejidades. Deseo entender cómo aplicar correctamente este último enfoque más rápido de "escuela secundaria".

El problema

Tenemos esta situación cinemática, donde las 2 cuerdas se tiran hacia abajo con una velocidad u . El bloque se mueve hacia arriba con velocidad v . Tenemos que encontrar la relación entre u y v .

La respuesta correcta al problema es:

v = \frac{tu}{C o s (θ)}

$\textbf{v} = \frac{\textbf{u}}{cos(\theta)}$

Duda #1: El enfoque más rápido de la escuela secundaria: ¿cómo funciona?

En este diagrama, el estudiante sugiere, primero dejar caer una perpendicular desde A hasta OB en C. Ahora, en $\Delta{ABC}$ , Podemos ver eso $u = v*cos(\theta)$ .

Sin embargo, la base de este argumento no está clara. Quiero decir, a un estudiante diferente se le ocurrió una respuesta diferente cuando dijo que si miramos $\Delta{OAB}$ , vemos eso $v = u*cos(\theta)$ .

¿Cómo funciona exactamente este enfoque? ¿Cómo sabemos cuál es la respuesta correcta?

Duda #2: ¿Por qué las cantidades cinemáticas no suman como lo hacen las cantidades dinámicas?

Otro estudiante planteó otra duda interesante. La respuesta que se le ocurrió fue esta:

v = \frac{2 tu}{C o s (θ)}

$\textbf{v} = \frac{2\textbf{u}}{cos(\theta)}$

Debes haber adivinado por qué vino con esta respuesta. Su argumento fue que, dado que hay 2 cuerdas simétricas, su movimiento se sumará para dar el movimiento del bloque. Dijo que así como las fuerzas se suman, los desplazamientos/velocidades también deberían sumar. Ahora bien, el argumento es claramente falaz.

Pero, ¿cómo le explico la falacia a un estudiante de secundaria?

APÉNDICE -- El enfoque geométrico riguroso:

Aquí está el enfoque geométrico formal que utilicé para derivar la respuesta correcta.

En el diagrama que se muestra arriba, sabemos que:

PAG O B = L (constante, longitud total de la cadena)

$POB = L \text{ (constant, total length of string)}$

\begin{matrix} (1) & PAG O + O B = L \end{matrix}

$PO + OB = L \label{a} \tag{1}$

PAG O + \frac{O A}{s i norte (θ)} = L

$PO + \frac{OA}{sin(\theta)} = L$

Ahora, diferencia la expresión anterior con el tiempo (sabiendo que OA es constante y $\dot{PO} = \textbf{u}$ ):

\dot{PAG O} - \frac{O A * C o s (θ)}{s i {norte}^{2} (θ)} * \dot{θ} = 0

$\dot{PO} - \frac{OA*cos(\theta)}{sin^2(\theta)}*\dot{\theta} = 0$

\begin{matrix} (2) & \dot{θ} = \frac{s i {norte}^{2} (θ)}{O A * C o s (θ)} * tu \end{matrix}

$\dot{\theta} = \frac{sin^2(\theta)}{OA*cos(\theta)}*\textbf{u} \label{b} \tag{2}$

Ahora, toma la ecuación $\ref{a}$ de nuevo, pon $OB = \frac{AB}{cos(\theta)}$ , y luego diferencie wrt time:

PAG O + \frac{A B}{C o s (θ)} = L

$PO + \frac{AB}{cos(\theta)} = L$

\dot{PAG O} + \frac{\dot{A B}}{C o s (θ)} + \frac{A B * s i norte (θ)}{C o s^{2} (θ)} * \dot{θ} = 0

$\dot{PO} + \frac{\dot{AB}}{cos(\theta)} + \frac{AB*sin(\theta)}{cos^2(\theta)}*\dot{\theta} = 0$

Ahora, $\dot{PO} = \textbf{u}$ , $\dot{AB} = - \textbf{v}$ y $AB = OA*tan(\theta)$ . Por eso:

tu - \frac{v}{C o s (θ)} + \frac{O A * s i norte (θ)}{t a norte (θ) * C o s^{2} (θ)} * \dot{θ} = 0

$\textbf{u} - \frac{\textbf{v}}{cos(\theta)} + \frac{OA*sin(\theta)}{tan(\theta)*cos^2(\theta)}*\dot{\theta} = 0$

\begin{matrix} (3) & tu - \frac{v}{C o s (θ)} + \frac{O A}{C o s (θ)} * \dot{θ} = 0 \end{matrix}

$\textbf{u} - \frac{\textbf{v}}{cos(\theta)} + \frac{OA}{cos(\theta)}*\dot{\theta} = 0 \label{c} \tag{3}$

Ahora, usando ecuaciones $\ref{b}$ y $\ref{c}$ para eliminar $\dot{\theta}$ , obtenemos la relación:

tu = v * C o s (θ)

$\textbf{u} = \textbf{v}*cos(\theta)$

usuario135951

La velocidad del bloque hacia arriba, a lo largo de la cuerda, se transfiere a toda la cuerda. Entonces, cuando el bloque se mueve hacia arriba con velocidad

v

$v$ luego a lo largo de la cuerda el componente es

v \cos (θ)

$v\cos(\theta)$ que es igual a la velocidad de la cuerda

u

$u$ . Además, el primer diagrama bajo la duda 1 es el diagrama correcto. Recuerda siempre que la componente de un vector

v

$v$ nunca puede tener mayor magnitud que ella misma.

u

$u$ es el componente de

v

$v$ a lo largo de la cuerda.

jerbo sammy

Posible duplicado de Duda en una pregunta relacionada con las leyes del movimiento de Newton

shivams

@sammygerbil: Sí, me di cuenta de que esto es de hecho un duplicado de esa pregunta. Sin embargo, mientras que el original parece un problema de tarea en el que el usuario no se ha esforzado en resolverlo, mi pregunta está mucho mejor enmarcada. El original ha sido CERRADO porque estaba marcado como "Poco claro". Entonces, en ese caso, esto no debería contarse como un duplicado, ¿o sí?

jerbo sammy

Ambas preguntas están preguntando lo mismo, y la otra fue anterior. Se ha esforzado más, pero su pregunta no plantea ningún problema nuevo. No he votado para cerrarlo, y hasta ahora nadie más lo ha hecho. Anotar duplicados los vincula para futuras búsquedas. Si está satisfecho con las respuestas proporcionadas aquí, seleccione una.

Respuestas (3)

Una solución más intuitiva para la cinemática del sistema polea-cuerda

La velocidad del bloque hacia arriba, a lo largo de la cuerda, se transfiere a toda la cuerda. Entonces, cuando el bloque se mueve hacia arriba con velocidad $v$ luego a lo largo de la cuerda el componente es $v\cos(\theta)$ que es igual a la velocidad de la cuerda $u$ . Además, el primer diagrama bajo la duda 1 es el diagrama correcto. Recuerda siempre que la componente de un vector $v$ nunca puede tener mayor magnitud que ella misma. $u$ es el componente de $v$ a lo largo de la cuerda.
Posible duplicado de Duda en una pregunta relacionada con las leyes del movimiento de Newton
@sammygerbil: Sí, me di cuenta de que esto es de hecho un duplicado de esa pregunta. Sin embargo, mientras que el original parece un problema de tarea en el que el usuario no se ha esforzado en resolverlo, mi pregunta está mucho mejor enmarcada. El original ha sido CERRADO porque estaba marcado como "Poco claro". Entonces, en ese caso, esto no debería contarse como un duplicado, ¿o sí?
Ambas preguntas están preguntando lo mismo, y la otra fue anterior. Se ha esforzado más, pero su pregunta no plantea ningún problema nuevo. No he votado para cerrarlo, y hasta ahora nadie más lo ha hecho. Anotar duplicados los vincula para futuras búsquedas. Si está satisfecho con las respuestas proporcionadas aquí, seleccione una.

Ken G. · Answer 1

Hay una manera más fácil de obtener su solución, simplemente llame a la longitud $OA$ igual a $1$ (es constante, por lo que podemos escalar todas las longitudes), y llame a la longitud AB igual a $z$ . Entonces $u$ es igual a la tasa de cambio negativa de la longitud de la hipotenusa $OB$ (desde $OB$ + $OP$ es constante), y v es igual a la tasa de cambio negativa de $z$ . La hipotenusa es la raíz cuadrada de $1+z^2$ , y su derivada temporal negativa por la regla de la cadena es $\cos(\theta)$ veces $dz/dt$ , así que eso es $v\cos(\theta)$ , y eso es igual $u$ , y listo.

El primer estudiante tiene razón, el triángulo ABC es una buena proyección. El segundo estudiante está equivocado porque el triángulo OAB no es una buena proyección, el bloque no se mueve a lo largo de OB. El tercer estudiante está equivocado porque las velocidades no se suman así: si tiene dos cuerdas rectas unidas a un bloque y tira de ambas cuerdas a la velocidad $u$ , el bloque se mueve a velocidad $u$ , no velocidad $2u$ .

En realidad, en cualquier instante podemos decir directamente $u=v\cos(\theta)$ . $\theta$ es el ángulo instantáneo, y ese primer método no está mal. $u$ es simplemente el componente de $v$ a lo largo de la cuerda. La longitud de la cadena debe permanecer constante, por lo que se mantiene la relación de restricción.
Buen punto, esa es la solución más fácil. Me expresé mal, el problema no es la tasa de cambio de theta, ya que la proyección es instantánea. El estudiante que usó el triángulo ABC está en lo correcto porque la velocidad real está a lo largo de AB y se puede proyectar a lo largo de OA. El estudiante que usó el triángulo OAB está equivocado porque esa solución trata la velocidad real como si estuviera a lo largo de OA y pudiera proyectarse a lo largo de AB. No funciona seguir proyectando así, uno necesitaría incluir ambos componentes proyectados.
Creo que deberías agregar tu comentario como una edición a la respuesta :). Además, use LaTeX mientras escribe los símbolos matemáticos.
@KenG: Tu comentario aclara mucho. Mi duda era precisamente esta de por qué estamos tomando la componente de v a lo largo de u y no u a lo largo de v . Su argumento de que "la velocidad real está a lo largo de AB y, por lo tanto, esa velocidad debe proyectarse a lo largo de OA y no al revés" es clarificador. Gracias por eso. +1
Hace un año tuve esta duda precisa! Necesito un poco más de aclaración. Usted dice que no funciona seguir proyectando así, uno necesitaría incluir ambos componentes proyectados. ¿Podría mostrar cómo o cuáles de los dos componentes deben agregarse para obtener la respuesta correcta si usamos el triángulo OAB o u como la velocidad y lo dividimos en "cuáles son todos los componentes" para obtener la respuesta correcta? Sería realmente útil si también pudiera agregar este bit en la respuesta. Gracias
@shivams, ¿le gustaría echar un vistazo a mi comentario anterior, ya que creo que ha entendido la pregunta?
@Shashaank: Tu pregunta no está clara. ¿Podrías tratar de reformularlo mejor?
@shivams Quise decir que KenG dijo que "... uno necesitaría incluir ambos componentes proyectados" (en su último comentario cuando habla de romper con OA). Así que quería saber cuáles serán todos los componentes. tomamos entonces?

floris · Answer 2

Creo que este diagrama muestra claramente cómo se puede explicar el enfoque de su primer alumno:

A partir de triángulos semejantes, puedes ver que cuando la cuerda se acorta por la distancia $u$ , la carga se mueve verticalmente una distancia $\frac{u}{\cos\theta}$ .

En cuanto a la falacia del enfoque del segundo estudiante: si bien las velocidades son vectores y los vectores se pueden sumar, la suma solo tiene sentido cuando se considera el movimiento en diferentes marcos de referencia. Si estoy en un tren que se mueve a velocidad $\vec v$ , y lanzo una pelota por la ventana a una velocidad $\vec u$ , una persona en el suelo vería la pelota moviéndose a $\vec v + \vec u$ . Pero cuando dos personas en el tren ven la misma pelota moviéndose a $u$ , no puedes decir "bueno, A vio una velocidad de $u$ , y B vio una velocidad de $u$ , por lo que el objeto se mueve a $2u$ "...

+1 Para un enfoque diferente y más clarificador. Sin embargo, usted ha tomado una diferente $\theta$ como se indica en la pregunta. En consecuencia, su respuesta debe ser $u/sin(\theta)$ .
@shivams - Lo siento, descuidado de mi parte... gracias por señalarlo. Lo he arreglado ahora.
Algo irrelevante, pero ¿puedo preguntar qué software usas para tales diagramas/ilustraciones? Tu ilustración se ve bien. Actualmente uso IPE, que me encanta mucho, pero siempre estoy al pendiente.
@shivams: solo uso Powerpoint en la Mac... Tiene un conjunto decente de herramientas para alinear/rotar, etc., y funciona para la mayoría de mis diagramas.
Ah, okey. Siempre me olvido de las herramientas simples para un trabajo simple :)

unataza · Answer 3

Duda #1: Una breve explicación:

en el triangulo rectangulo $OAB$ , lado $OA$ es constante y $\cos\theta = \dfrac{AB}{OB}$ . Aplicando la derivada temporal al Teorema de Pathagorean para este triángulo se obtiene:

\begin{aligned} \frac{d}{d t} ((O B)^{2}) & = & \frac{d}{d t} ((O A)^{2} + (A B)^{2}) \\ 2 (O B) (\dot{O B}) & = & 2 (O A) (\dot{O A}) + 2 (A B) (\dot{A B}) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt} \left( (OB)^2 \right) &=& \frac{d}{dt} \left( (OA)^2 + (AB)^2 \right) \\ 2(OB)(\dot{OB}) & = & 2(OA)(\dot{OA}) + 2(AB)(\dot{AB}) \end{align}$ Simplificando y usando

\dot{O A} = 0

$\dot{OA} = 0$ ,

\dot{O B} = u

$\dot{OB}=u$ y

\dot{A B} = v

$\dot{AB}=v$ , esto se convierte

u = v \cos θ

$u=v\cos\theta$ que da el resultado

v = \frac{tu}{porque θ}

$\begin{equation} v=\frac{u}{\cos\theta} \end{equation}$

Duda #2: El factor de 2

La confusión surge de la naturaleza de las condiciones iniciales establecidas en el problema; el problema especifica la velocidad de los puntos $P$ (polea fija izquierda) y $Q$ (polea fija derecha) $=u$ . En cambio, el problema podría haber establecido las fuerzas aplicadas en $P$ y $Q$ dando una tensión $T$ en las cuerdas y pidiéndole que resuelva la aceleración de $M$ . Si este hubiera sido el caso, el factor de $2$ de hecho aparecería en la respuesta (una de la tensión en el $P$ lado y uno de la tensión en el $Q$ lado) porque las fuerzas aplicadas a $M$ sumar como vectores, mientras que la velocidad de las cuerdas unidas a $M$ no.

Una solución más intuitiva para la cinemática del sistema polea-cuerda

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El problema

Duda #1: El enfoque más rápido de la escuela secundaria: ¿cómo funciona?

Duda #2: ¿Por qué las cantidades cinemáticas no suman como lo hacen las cantidades dinámicas?

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