¿Por qué la velocidad de escape es independiente de la dirección de proyección?

Aquí hay un par de respuestas incorrectas: tiene razón en que la velocidad de escape es independiente del ángulo de proyección.

La energía del proyectil lanzado se puede escribir

Hay tres tipos de órbitas dependiendo del signo de$E$:

1. $E<0 \implies$Órbita elíptica (roja)
2. $E=0 \implies$Órbita parabólica (verde)
3. $E>0 \implies$Órbita hiperbólica (azul)

De los tres, solo las órbitas elípticas están cerradas; las órbitas hiperbólica y parabólica corresponden al proyectil escapando al infinito. La órbita parabólica es el "caso límite": el primer valor de la energía por la cual el proyectil escapa al infinito. Por lo tanto, definimos la velocidad de escape como la velocidad necesaria para que la energía total sea cero:

Si la partícula se proyecta radialmente lejos del planeta con la velocidad de escape, seguirá una trayectoria en línea recta mientras se desacelera gradualmente, acercándose asintóticamente a la velocidad cero en el infinito.

Por otro lado, si la partícula se proyecta horizontalmente (tangente a la Tierra), la órbita se verá así:

En ambos casos, sin embargo, el proyectil escapa al infinito, hecho que depende únicamente del signo de la energía total.

He tratado de responder a la pregunta de una manera diferente.

Supongamos que el objeto, masa$m$, se proyecta a la velocidad de escape$v_{\rm e}$en una tangente a la superficie del radio de la Tierra$R$y masa$M$.

En términos de energía$\frac 12 mv^2_{\rm e} -\frac{GMm}{R}=0$y$\frac 12 mv^2 -\frac{GMm}{r}=0$a cualquier distancia$r$del centro de la Tierra cuando se viaja a una velocidad$v$. Esto nos dice que en cada distancia$r$desde el centro de la Tierra, el objeto viaja a la velocidad de escape para esa distancia.

La combinación de estas dos ecuaciones da$v^2=v^2_{\rm e} \frac Rr$

La fuerza gravitatoria es central, por lo que se conserva el momento angular.

Si$v_{\rm r}$es la velocidad a lo largo del radio vector entonces

Para ver la implicación de las ecuaciones para las velocidades tangencial y radial, veamos algunos gráficos y, por simplicidad, hagamos$v_{\rm e} =1$y$R=1$entonces tenemos

Tenga en cuenta que para$r>2$la velocidad radial es mayor que la velocidad tangencial y la velocidad radial se vuelve cada vez más dominante a medida que aumenta la distancia desde la Tierra.
Así, la trayectoria del objeto se acerca cada vez más a estar a lo largo de un radio vector.
La velocidad tangencial inicial no se ha "desperdiciado" sino que ha contribuido a que el objeto pueda escapar de la Tierra.

Posiblemente, con la escala adecuada de los gráficos, puede mostrar el efecto de cambiar el ángulo en el que se dispara el objeto.
Por ejemplo, cuando el ángulo es$45^\circ$las velocidades radial y tangencial iniciales son iguales y, a medida que aumenta la distancia a la Tierra, la velocidad radial dominará cada vez más.

La velocidad de escape se define de modo que cualquier objeto, sin importar en qué dirección viaje, podrá alcanzar una distancia infinita de otro cuerpo (la Tierra, por ejemplo) a pesar de la atracción gravitacional de ese cuerpo. El ángulo de lanzamiento no importa porque no hay altura máxima. El objeto seguirá yendo para siempre a distancias más lejanas.

Si lanza el objeto a la velocidad de escape verticalmente, siempre se alejará de la Tierra por el resto del tiempo. Se ralentizará gradualmente, pero nunca se detendrá.

Si lanzas el objeto a una velocidad de escape paralela al suelo, tomará una trayectoria parabólica hasta el infinito. Siempre disminuirá la velocidad y girará lentamente hacia 90° desde su ángulo de lanzamiento original, pero nunca dejará de aumentar su distancia y nunca completará el giro.

Porque el ángulo para la velocidad de escape es implícitamente de noventa grados en las fórmulas que has visto. Puede expresar la velocidad de escape utilizando el ángulo inicial de lanzamiento, pero las ecuaciones a las que ha estado expuesto asumen que un proyectil se dispara directamente hacia arriba para la velocidad de escape .

EDITAR: la respuesta de J. Murray no está del todo completa y critica la mía por estar equivocada. No tengo suficiente representante para responder directamente ya que soy nuevo, así que lo haré aquí. Él escribe la ecuación básica de la energía:

$E=T+U=\frac{1}{2}mv^2−\frac{GMm}{r}$

Pero esta ecuación efectivamente trata a v y r como escalares, y no como vectores. En otras palabras, la ecuación se trata como unidimensional. De Wikipedia:

"La velocidad de escape es la velocidad mínima necesaria para que un objeto libre escape de la influencia gravitatoria de un cuerpo masivo".

Por lo tanto, para que un proyectil escape de la gravedad de la Tierra en paralelo al plano de la Tierra, necesitará una velocidad inicial mayor, pero por definición , la velocidad de escape sigue siendo la misma. En otra nota semántica, la definición dice que es una "velocidad", pero el nombre es una velocidad, el nombre inapropiado es probablemente una gran fuente de confusión.

Aquí está la "derivación de cálculo" de Wikipedia.

El trabajo total necesario para mover el cuerpo desde la superficie$r_0$del cuerpo gravitante hacia el infinito es entonces

$W = \int_{r_0}^{\infty} -G\frac{Mm}{r^2}\,dr = -G\frac{Mm}{r_0} = -mgr_0$

Esta es la energía cinética mínima necesaria para poder llegar al infinito, por lo que la velocidad de escape$v_0$satisface:

$W+K=0\Rightarrow {\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=G{\frac {Mm}{r_{0}}}$

Esta ecuación establece más explícitamente que r y v son escalares indicados por$r_0$y$v_0$Además, pasamos del trabajo (W) a un término de energía cinética escalar (K), cuando los términos de energía cinética vectorial son posibles. Aquí está la definición de Wikipedia de energía cinética:

"Se define como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa dada desde el reposo hasta su velocidad establecida ".

Por lo tanto, la definición que Murray y Wikipedia están utilizando para la energía cinética es solo un caso conveniente donde solo se considera la energía cinética 1D (utilizando la velocidad, no la velocidad). Además, no se puede simplemente sustituir trabajo por energía cinética. La gravedad es una fuerza conservativa, lo que significa que no realiza trabajo en un camino cerrado. Sin embargo, la energía cinética sí funciona en un camino cerrado, por lo que igualar las dos en todos los casos es otra falacia.