¿Por qué la teoría semántica de la verdad de Tarski es formalmente correcta y materialmente adecuada?

En "La concepción semántica de la verdad y los fundamentos de la semántica" (1944), Alfred Tarski afirma que una definición satisfactoria de la verdad debe ser formalmente correcta y materialmente adecuada. Una teoría de la verdad es formalmente correcta si no contradice las reglas del lenguaje en el que se da (el metalenguaje que describe el lenguaje objeto). Además, una teoría de la verdad es materialmente adecuada si implica todas las equivalencias (T) en el lenguaje objeto de la forma "X es verdadera si, y solo si, p", donde 'p' es una oración arbitraria en el lenguaje objeto. y 'X' es el nombre de esa oración en el metalenguaje.

La definición de verdad que Tarski finalmente decide proponer es "una oración es verdadera si todos los objetos la satisfacen, y falsa en caso contrario". Por ejemplo, si la nieve satisface la oración "La nieve es blanca", entonces la oración es verdadera. Mi pregunta es, ¿cómo se puede demostrar que esta definición de verdad es formalmente correcta y que implica todas las equivalencias (T) en el lenguaje objeto? Puede ser que el tratamiento de la teoría que estoy leyendo sea solo un esbozo, o que esté malinterpretando algo, pero de cualquier manera sería de gran ayuda si alguien pudiera orientarme en la dirección correcta.

La "ejemplificación" de la teoría de Tarski como: "una oración es verdadera si todos los objetos la satisfacen, y falsa en caso contrario" es engañosa.
De las definiciones de verdad de Tarski : "La definición de Verdadero debe ser 'formalmente correcta'. Esto significa que debe ser una oración de la forma: Para todo x, Verdadero(x) si y solo si φ(x), donde Verdadero nunca ocurre en φ. [...] La definición debería ser 'materialmente adecuada' (es decir, 'exacta'). Esto significa que los objetos que satisfacen φ deberían ser exactamente los objetos que intuitivamente contaríamos como oraciones verdaderas.
@MauroALLEGRANZA Todo en la pregunta entre comillas está tomado directamente del ensayo de Tarski. Como tal, estoy confundido en cuanto a cómo es engañoso.
La forma en que entendí el requisito de corrección formal y adecuación material no fue como una definición sino como una condición que debe cumplir cualquier definición de verdad para que sea satisfactoria.

Respuestas (1)

Alfred Tarski afirma que una definición satisfactoria de la verdad debe ser formalmente correcta y materialmente adecuada.

No puedo hablar por la lógica filosófica, pero por la lógica matemática, la afirmación de Tarski se convirtió en una definición; en el sentido de que estos son buenos requisitos para tener una definición matemáticamente manejable de la verdad; que esta es una buena definición (matemáticamente) se muestra por las consecuencias de sus definiciones y teoría; y esto implicó el desarrollo de la teoría del modelo.

Aquí, Gödel demostró en su teorema de completitud que:

es un teorema fundamental en la lógica matemática...[establece] una correspondencia entre la verdad semántica y la demostrabilidad sintáctica en la lógica de primer orden.

Es decir, una proposición p es sintácticamente verdadera, que es derivable por las leyes de inferencia si y solo si p también es semánticamente verdadera, que se satisface por su(s) modelo(s).

La dirección hacia adelante se llama integridad y la dirección hacia atrás solidez, al menos en lógica matemática.

Para dar un ejemplo simple de esto, tome la teoría de la Geometría Euclidiana (elemental) (EG), y la lógica de primer orden, y modus tollens como la ley de inferencia. Entonces, todo teorema aritmético que se pueda probar formalmente mediante las reglas de la lógica, la inferencia y los axiomas de PA, se puede demostrar que se satisface en el plano real; y lo contrario también vale.

¿Qué quiere decir con: "Entonces, cada teorema aritmético que uno puede probar formalmente mediante las reglas de la lógica, la inferencia y los axiomas de PA, puede demostrarse que se satisface mediante el modelo estándar: los números enteros reales; y lo contrario también es válido " ? El "recíproco" debe sonar como: "si un enunciado se satisface en el modelo estándar, entonces es formalmente demostrable mediante reglas de lógica a partir de los axiomas de fo Peano"... Si es así, no es correcto: la incompletitud de G Th prueba precisamente que hay afirmaciones aritméticas "intuitivamente" verdaderas (es decir, verdaderas en el modelo pretendido) que no son demostrables. 1/2
Por lo tanto, por la Completitud Th de G, son falsos en algún modelo no estándar. 2/2
@Allegranza: Ok, cometí un desliz. ¿Conoce algún ejemplo simple y natural que satisfaga las condiciones del teorema de completitud de G? Alcancé a PA olvidando su resultado limitativo.
Completitud Th, dice que todas las consecuencias lógicas de los axiomas son demostrables, y viceversa. Ser log contras de axiomas significa: verdadero en todos los modelos (y no solo en el pretendido). Por lo tanto, todos los teoremas "habituales" demostrables a partir de los axiomas de Peano, como: para todo x, existe y (x < y) es claramente cierto en todos los modelos (incluidos los no estándar). La fórmula "extraña" de la incompletitud Th de G, al no ser demostrable, no debe ser una contra lógica de los axiomas, es decir, verdadera en el estándar (nosotros "vemos" esto a través de la demostración de la Th de G) pero falsa en algunos no estándar. una...
@Allegranza: claro; pero no debería uno calificar a todos , a veces los modelos son kripke, topológicos, categóricos, etc.; a los efectos de mi respuesta, un ejemplo concreto simple es lo que estaba buscando; Recuerdo vagamente haberme encontrado con algunos: ¿la geometría del plano euclidiano de Tarski se ajusta a la factura?
Sí; completa en el sentido de que no está sujeta al "fenómeno de incompletitud" de la incompletitud de G Th ... Puede ver la teoría completa : aritmética de Presburger (un subconjunto de la de Peano), los axiomas de Tarski para la geometría euclidiana, etc.
"La afirmación de Tarski se convirtió en una definición", pero el requisito de Tarski de corrección formal y adecuación material no es una definición de la verdad, sino una condición que debe cumplir cualquier definición de la verdad.
Entonces, ¿la definición de Tarski no es para el lenguaje natural sino solo para lenguajes "bien definidos" como las matemáticas o la programación de computadoras?
¿Por qué la teoría semántica de la verdad de Tarski es formalmente correcta y materialmente adecuada?
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