El padre de las matemáticas (Euclides) escribió un libro llamado Elementos. El libro está lleno de axiomas y estos son algunos de los que me interesan:
- Las cosas iguales a la misma cosa también son iguales entre sí.
- Y si a cosas iguales se suman cosas iguales, los todos son iguales.
- Y si a cosas iguales se le restan cosas iguales, los restos son iguales.
- Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
- Y el todo [es] mayor que la parte.
Hace unos años llegué a la idea de que Euclid podría estar (está...) equivocado sobre el No.5.
¿Por qué creo que está equivocado? Está equivocado porque tomar decisiones sobre más o menos (como consecuencia: más/menos, más rápido/más lento, etc.) es la razón (principal) de todo lo negativo que tenemos. Intenta pensar en cualquier conflicto en la Tierra y encontrarás al menos dos bandos luchando por lo mismo allí. Por ejemplo: pelear por un territorio más grande, pelear por más dinero, pelear por menos problemas, etc. Creo que el concepto de pensar (pensar que incluso existe algo más grande o más pequeño) es falso. Sin embargo, parece que no puedo probar lógicamente que sea falso o verdadero, porque toda la lógica misma está hecha sobre tales axiomas...
Entonces, digamos (o simplemente supongamos) que algunos de los axiomas son incorrectos. La pregunta es: ¿qué base se debe usar para demostrar que el axioma es incorrecto para el resto del mundo? Mi propia suposición es que tengo que usar la base de "lo que es valioso para la sociedad" o incluso la base de "cómo se siente para la sociedad".
Y, una cosa más para mencionar. Si no puedo probar que el axioma es falso o verdadero (porque falso/verdadero es parte de la lógica que se hace sobre el axioma mismo), entonces me gustaría llamar "verdadero" como "real" y "falso" como "ilusión", pero ¿sería esto correcto?
La pregunta correcta no es:
Cómo decidir si un axioma es correcto o incorrecto...
pero :
¿De qué "dominio" (del discurso o de la realidad) es verdadero este axioma?
Las matemáticas modernas, después de Georg Cantor , han encontrado "dominios" ( colecciones o conjuntos infinitos ) donde no es cierto que
el todo [es] mayor que la parte
para una interpretación "adecuada" de mayor que .
Como ya sabía Galileo (ver la paradoja de Galileo ) podemos asociar a cada número natural n su doble: 2n .
Por lo tanto, si usamos este "procedimiento" para contar los objetos en una colección, podemos decir aproximadamente que la colección de números naturales tiene el "mismo número" de elementos que la colección de números pares .
Este resultado nos muestra que, para una colección infinita , podemos decir aproximadamente que
el todo no siempre es "mayor que" una parte propia del mismo.
En la época de Euclides, los axiomas se tomaban como verdades básicas e incuestionables sobre el mundo. En tiempos más modernos, sin embargo, tenemos menos fe en la existencia de tales cosas, y los axiomas se definen con menos rigidez como los componentes básicos de un sistema particular de pensamiento. Así, los axiomas euclidianos definen la geometría euclidiana, pero también existen geometrías no euclidianas con diferentes axiomas.
Da la casualidad de que los axiomas de la lógica formal no dependen de los axiomas de la geometría euclidiana, por lo que podría intentar refutar un axioma euclidiano usando la lógica sin temor a una paradoja.
En general, si desea demostrarle algo a alguien, el enfoque adecuado es comenzar con los axiomas que respalda su objetivo. Si hace su trabajo correctamente, demostrará que el objetivo no puede mantener constantemente la posición que está tratando de refutar y aún respaldar los axiomas con los que comenzó.
La mejor manera de falsificar un axioma es mostrar que el axioma es autocontradictorio en sus propios términos o implica lógicamente una deducción de un teorema que conduce a una autocontradicción.
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