¿Cómo se puede formalizar que un argumento compuesto por un enunciado verdadero y uno falso es "parcialmente verdadero"?

En la lógica clásica, si A o B son falsos, entonces "A y B" son falsos. Pero en el lenguaje natural, a menudo se escucha a alguien decir "eso es solo parcialmente cierto" o "eso es parcialmente falso" como réplica a escuchar una secuencia de afirmaciones, algunas de las cuales son falsas (a menudo seguidas de una explicación de qué parte era falsa).

Una forma de abordar esto es si hay lagunas de valores de verdad en la lógica, es decir, una lógica de muchos valores. Sin embargo, la existencia de lagunas por sí sola no implica que la conjunción de verdadero y falso vaya a ser necesariamente una laguna. De hecho, muchas lógicas de muchos valores tienen que "verdadero y falso = falso", por ejemplo, ese es el caso en (fuerte) Kleene, o LP, o la lógica de Łukasiewicz . Incluso en la lógica de cuatro valores de Belnap , aunque tiene nociones de "ni verdadero ni falso" y "tanto verdadero como falso", la conjunción de algo que es (solo) verdadero con algo que es (solo) falso... es de nuevo (solo ) FALSO. En un comentario a continuación, alguien sugirió lógicas difusas, que tienen un valor de verdad continuo (más de [0, 1]),esta familia : la "función de verdad conjuntiva * [...] debe ser conmutativa [y tener] (0*x)=0".

Veo en un artículo de Humberstone de 2003 , que solo he examinado muy brevemente, que un enfoque es tener algún tipo de operador distinto de la valoración de la verdad real definida. (Esto parece ser una especie de "valoración alternativa". El artículo, que es bastante largo, no parece increíblemente citado, por lo que el problema del que estoy hablando es oscuro o la solución propuesta por Humberstone es tan ...)

Entonces, ¿se ha propuesto alguna lógica en la que la conjunción de verdadero y falso sea un vacío, en lugar de falso? O si no, ¿hay alguna otra forma de formalizar esta noción que pueda capturar que una conjunción de verdadero y falso es "parcialmente verdadera", además del enfoque del operador de Humberstone, que parece un poco insatisfactorio ya que usa una "escala de verdad" diferente para este tipo de evaluación que la principal valoración de la verdad utilizada en la lógica?

(NB: sospecho que esto se reduce a algunos problemas "más profundos", como lo que se puede llamar razonablemente una conjunción en una lógica y lo que es "falso", porque en un [semi] enrejado con falso como el elemento inferior, si se toma la conjunción como el mayor límite inferior en el [semi]rejilla, es inevitable que "falso y cualquier cosa = falso".)

"eso es solo parcialmente cierto" o "eso es parcialmente falso" se modelan en la lógica difusa de Zadeh (que se basa esencialmente en Lukasiewicz), solo que no con una conjunción de verdad y falsedad, sino con el valor de verdad introducido como si tuviera un valor dentro del rango de [0, 1] (y todos los valores intermedios).
¿Alguna razón para el DV? @k-wasilewski: ¿y qué dice la lógica de "Zadeh" sobre la conjunción de 1 y 0?
Está el en.wikipedia.org/wiki/Catu%E1%B9%A3ko%E1%B9%ADi . Creo que no entendieron el impacto de la lógica de cuatro valores, que puede afectar la evaluación de la computadora y la electrónica mucho más profundamente de lo que implica (por ejemplo, permitiendo bucles extraños y jerarquías enredadas). La lógica cuántica es importante y debe estar relacionada con la pérdida de señal a través de la entropía de Shannon y la realidad como flujo de información (es decir, la imagen de Carlo Rovelli). Tampoco puedo ver por qué el DV parece una pregunta perfectamente relevante y bien hecha.
En mi humilde opinión, "eso es solo parcialmente cierto" en realidad no tiene nada que ver con la lógica formal . Por lo general, indica una falacia informal como el equívoco (que, si realmente lo desea, puede volver a convertirse en una falacia formal como la falacia de los cuatro términos , pero esa es la parte "falsa", no la parte "parcialmente").
@Kevin: bueno, obviamente obtener solo la parte "falsa" es muy fácil en prácticamente cualquier lógica que pueda recordar ...
¿Es este el tipo de cosas que está buscando: la noción de Yablo de agregar verdad ?
En lógica difusa obtienes, por definición: x ∧ y = min{x,y}
@Conifold: el tema de Yablo parece estar más o menos relacionado (citó con aprobación Humberstone 2003) pero realmente no entiendo el trabajo de Yablo o la pregunta vinculada para responder a su pregunta si eso es de alguna manera lo que estoy preguntando. El trabajo de Yablo parece más complicado con toda la vaga charla de mundos posibles, que no es algo que me importe.
@k-wasilewski es lo mismo que la conjunción de Kleene en la cadena de 3 elementos.

Respuestas (2)

Un camino a seguir, además del enfoque de Humberstone, podría comenzar con la semántica de los creadores de verdad, tal como la desarrollaron Kit Fine y otros. Arreglemos un poco de lenguaje de lógica proposicional estándar y tomemos modelos para ser semirretículos de unión completa inducidos por un orden parcial ≤. Entonces podemos definir una relación de verificación exacta y una relación de falsificación exacta análoga a algunas semánticas para FDE, con la excepción de la cláusula de verificación para conjunción: Un punto s verifica una conjunción A & B iff s es el supremo de los puntos r, t, donde r verifica A y t verifica B.

Basándonos en esta definición podemos definir una relación de conjunción parcial entre proposiciones (conjuntos de puntos): La proposición p es una parte conjuntiva de la proposición q si y solo si cada verificador de p tiene un sucesor ≤ entre los verificadores de q y cada verificador de q tiene un antecesor ≤ entre los verificadores de p.

Ahora podemos decir que la proposición p es parcialmente verdadera en un punto s si tiene una parte conjuntiva que es verificada por s; y que p es parcialmente falsa en s, si tiene una parte conjuntiva que es falsada por s.

Veo que Fine (2017) cita Aboutness de Yablo como parte de este campo. Ya he descubierto que Yablo en ese libro cita con aprobación a Humberstone (2003). (Sin embargo, también menciona la crítica de Russel de todo el esfuerzo, que es lo que podría haberme ganado el DV, tal vez).
Para poner esto en un eslogan, Fine (semánticamente) distingue entre contención y vinculación. Lo que hace Humberstone es evaluar las afirmaciones de contención en la misma lógica (a través de un operador).
Es interesante. Veo la semántica de Fine como un intento de explicar una tradición un tanto descuidada de proporcionar una semántica para FDE, que se remonta al trabajo de van Fraassen en la década de 1960. Parece que Humberstone podría haber seguido la misma línea. Más desde que Humberstone en su artículo de 2003 cita el artículo relevante de van Fraassen.

Esta es solo una respuesta parcial, pero, curiosamente, se ha considerado una especie de conjunción que haría que "verdadero y falso" sea "neutral" en tablas de 3 valores (y, de hecho, [finitas] lógicas difusas / multivaluadas en general ). Sin embargo, (obviamente) no es compatible con el booleano. De "Un mapa de dependencias entre lógicas de tres valores" por D. Ciucci & D. Dubois.

2.1.3. operadores t

Esta es otra generalización de t-norms en conjuntos pedidos por adelantado [ref42].

Definición 3 [ref43]. Un operador binario * en una escala finita {F < x 1 < . . . < T} se denomina operador t si es asociativo, conmutativo, tal que F * F = F, T * T = T y satisface 1-suavidad: si x i * x j = x k entonces { x i - 1 * x j , x yo * x j-1 } ⊆ { x k-1 , x k }.

(Arreglé la definición buscando el documento original; está distorsionado en esta revisión por algunos símbolos que faltan... pero por lo demás dan una forma algo más obvia que en el original, aunque equivalente. Básicamente, el operador t no es disminuyendo en cada lugar y solo "sube en uno" como máximo, en la cadena, en cada argumento).

Proposición 4. En escalas de tres valores, solo hay cinco operadores t: las conjunciones y disyunciones de Kleene y Łukasiewicz y el operador de agregación en la Tabla 3.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Esto tiene una estructura bastante trivial en la cadena de 3 valores: da el valor de la brecha en todas partes excepto en F * F y T * T.

La peculiaridad del operador en la Tabla 3 es que no generaliza los conectivos booleanos: F y T dan el tercer valor N. De hecho, es fácil ver que es la operación med(x, y, N) calculando la mediana entre x, y y N. Se sabe que es la única operación asociativa entre ∧ y ∨, y un caso especial de Sugeno Integral.

  • [ref42] M. Mas, G. Mayor, J. Torrens, t-Operators, International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems 7 (1) (1999) 31–50.

  • [ref43] M. Mas, G. Mayor, J. Torrens, Operadores t y uninormas en un conjunto finito totalmente ordenado, International Journal of Intelligent Systems 14 (1999) 909–922.

Entonces, si uno quiere que una "conjunción" de 3 valores siga siendo conmutativa, asociativa y tenga este tipo de extracción de "verdad parcial", esta es la única opción ... Por supuesto, se puede obtener como un operador derivado en cualquier funcionalmente completo Lógica de 3 valores.

¿Cómo se puede formalizar que un argumento compuesto por un enunciado verdadero y uno falso es "parcialmente verdadero"?
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