Definición de verdad de Tarski para lenguajes finitarios

La respuesta es un simple sí. Si solo tiene un número finito de oraciones, puede enumerarlas en su definición. Sería algo como:

x es verdadera si y si ( x =x1 & p1) o (x=x2 & p2) o ... o (x=xn & pn)

donde x1..xn son nombres de oraciones y p1..pn son oraciones.

Para ver eso, recuerde por qué se necesitaba la noción de satisfacción en primer lugar. Si el lenguaje tiene infinitas oraciones, entonces la definición de verdad tiene que involucrar algo como recursividad. Pero la verdad no se puede definir directamente recursivamente, ya que la verdad se aplica solo a oraciones completas, y las oraciones tienen partes que no son necesariamente oraciones en sí mismas. Sin embargo, la satisfacción se puede definir de forma recursiva, ya que también se aplica a las partes de la oración. Pero si su idioma es finito, entonces no necesita recursividad.

Esto es lo que dice Tarski sobre esto, justo después de presentar el esquema T en "El concepto de verdad en lenguajes formalizados", págs. 188-189:

Si el lenguaje investigado contuviera un número finito de oraciones fijadas desde el principio, y si pudiéramos enumerar todas estas oraciones, entonces el problema de la construcción de una definición correcta de la verdad no presentaría dificultades. ... Pero la situación no es así. Siempre que un lenguaje contenga infinitas oraciones, la definición construida automáticamente de acuerdo con el esquema anterior tendría que consistir en infinitas palabras, y tales oraciones no pueden formularse ni en el metalenguaje ni en ningún otro idioma.

El pasaje relevante al respecto es el siguiente:

"Mientras que las palabras 'designa', 'satisface' y 'define' expresan relaciones (entre ciertas expresiones y los objetos 'referidos' por estas expresiones), la palabra 'verdadero' es de una naturaleza lógica diferente: expresa una propiedad (o denota una clase) de ciertas expresiones, a saber, de oraciones Sin embargo, se ve fácilmente que todas las formulaciones que se dieron anteriormente y que tenían como objetivo explicar el significado de esta palabra ... se referían no solo a las oraciones mismas, sino también a los objetos "de los que hablan" estas oraciones, o posiblemente a los "estados de cosas" descritos por ellas. Y, además, resulta que la forma más simple y natural de obtener una definición exacta de la verdad es aquella que implica la uso de otras nociones semánticas, por ejemplo, la noción de satisfacción.Es por estas razones que contamos el concepto de verdad que se discute aquí entre los conceptos de semántica, y el problema de definir la verdad demuestra estar estrechamente relacionado con el problema más general de establecer los fundamentos de la semántica teórica.” (Alfred Tarski,La concepción semántica de la verdad )

Un ejemplo que da Tarski para ilustrar la naturaleza de la noción de satisfacción es el siguiente:

"La oración 'la nieve es blanca' es verdadera si, y solo si, la nieve es blanca"

La satisfacción implica una relación entre una oración y el referente de la oración, o como dice Tarski, los "objetos de los que 'hablan' estas oraciones", y esta relación es inevitable. Independientemente de cualquier formulación lógica que se utilice, es decir, si equivale a una lista finita de oraciones, si involucra lógica oracional o cuantificación; independientemente de la formulación, los elementos más básicos de cualquier metalenguaje siempre consistirán en fórmulas atómicas cuyo valor de verdad depende de esta relación. La razón de esto es que es esencial para lo que es el lenguaje.

Por un lado, está la realidad cuya naturaleza y existencia es independiente de que sepamos algo sobre ella, y por otro lado, están los diversos medios de representar tal realidad de tal manera que sea conducente a la comprensión y la comunicación. El lenguaje es uno de esos medios, y su razón de ser es servir en esta capacidad representativa, por lo que sin la relación que subyace a la noción de satisfacción, el lenguaje no es nada en absoluto. No tiene sentido hablar de la verdad de un enunciado por sí mismo independientemente de lo que represente, porque quedaría reducido a una inútil secuencia de símbolos. Del mismo modo, no tiene sentido hablar de la realidad como verdadera independientemente de cualquier percepción, descripción, comprensión o representación, porque la verdad por su propia naturaleza es la aptitud de tales representaciones para retratar fielmente la realidad. Esto es precisamente lo que Tarski estaba diciendo cuando dijo que la verdad "expresa unapropiedad (o denota una clase) de ciertas expresiones, a saber, de oraciones".

Jamin Asay escribe:

"El interés de Tarski nunca fue reemplazar nuestra concepción ordinaria de la verdad con el tipo de definiciones que él ofrece. Más bien, las definiciones de Tarski funcionan en conjunto con nuestra concepción ordinaria de la verdad. Sabemos que las definiciones de Tarski tienen éxito solo si son materialmente adecuadas, en las que caso, implican todas las oraciones T. Para que las oraciones T proporcionen una verificación independiente de las definiciones de Tarski, deben expresar hechos importantes sobre nuestra concepción ordinaria de la verdad (o, al menos, sobre las condiciones de verdad de nuestras oraciones), y no verdades lógicas vacías". (Jamin Asay, "Tarski y el primitivismo sobre la verdad")

Por lo tanto, la noción de satisfacción es esencial para cualquier definición de verdad porque se refiere a la aptitud de las oraciones para cumplir con su propósito esencial. Y no, la verdad no puede definirse como el producto lógico de todas las instancias de un esquema sin recurrir al concepto de satisfacción, porque se requiere la noción de satisfacción para componer tal esquema a nivel atómico.

La respuesta depende (1) de los requisitos que uno establece en la definición (de la verdad), y (2) del concepto de verdad preferido (informal) de uno.

Tarski planteó dos requisitos sobre la definición de la verdad, la adecuación "material" y la adecuación "formal". La adecuación material tiene que ver con la extensión del predicado de verdad. La verdad para todas las oraciones correctas, y solo para las oraciones correctas, debe estar implícita en la definición de verdad. Es aquí donde se invoca el Esquema T, que es la formalización de Tarski de la definición de verdad de Aristóteles.

Nos gustaría que nuestra definición hiciera justicia a las intuiciones que se adhieren a la concepción aristotélica clásica de la verdad, intuiciones que encuentran su expresión en las conocidas palabras de la Metafísica de Aristóteles: Decir de lo que es que no es, o de lo que no es. que es, es falso, mientras que decir de lo que es que es, o de lo que no es que no es, es verdadero. ("La concepción semántica de la verdad", "El significado del término 'verdadero'")

La adecuación formal tiene que ver con la elección de términos en la definición de verdad. Con esto, Tarski se refería a aspectos del concepto de verdad distintos del esquema T. El propio Tarski se remitió al concepto "ordinario" de verdad, que identificó con ver la verdad como una especie de "correspondencia" entre las palabras y el mundo. El concepto "semántico" de verdad de Tarski, que une los conceptos de verdad, referencia y satisfacción, es la interpretación formal de Tarski de la idea informal de correspondencia entre palabra y mundo.

Sin embargo, se ve fácilmente que todas las formulaciones que se dieron anteriormente y que apuntaban a explicar el significado de [la palabra 'verdad'] se referían no solo a las oraciones mismas, sino también a objetos de los que "hablaban" estas oraciones, o posiblemente a los "estados de cosas" descritos por ellos. Y, además, resulta que la forma más sencilla y natural de obtener una definición exacta de la verdad es aquella que implica el uso de otras nociones semánticas, por ejemplo, la noción de satisfacción. (ibíd., "La verdad como concepto semántico")

Para un lenguaje finito, es posible definir la verdad como una conjunción del Esquema T, y será trivialmente materialmente adecuado. Pero, ¿puede ser formalmente adecuado? Quizás así sea, si uno es (a diferencia del propio Tarski) un minimalista en cuanto al concepto de verdad. No necesitamos prejuzgar aquí si el concepto de satisfacción es una parte necesaria del concepto de verdad. Lo que no podemos evitar es esto: si el concepto (informal) de verdad, para cualquier lenguaje, contiene algo de esencia además del Esquema T, entonces una definición de verdad en términos del Esquema T solo no será formalmente adecuada.