¿Por qué la teoría de Landau no falla cuando se trata de una transición de fase de primer orden?

Question

¿Por qué la teoría de Landau no falla cuando se trata de una transición de fase de primer orden?

usuario21090

Aquí hay un problema donde puedo hacer el cálculo, pero no entiendo la filosofía detrás de esto. Se trata de la teoría de Landau :

La teoría de las transiciones de fase de Landau se basa en la idea de que la energía libre de un sistema se puede expandir como una serie de potencias del parámetro de orden. Para una transición de fase de segundo orden, el parámetro de orden desarrolla un valor esperado, que evoluciona continuamente desde cero, por lo que esta expansión de potencia tiene bases matemáticas sólidas. Sin embargo, para una transición de fase de primer orden, dado que hay un salto en el parámetro de orden, el parámetro de orden nunca obtiene un valor infinitesimal. Si es así, ¿por qué la teoría de Landau todavía se usa comúnmente para la transición de fase de primer orden, incluso si la expansión parece no ser válida en la transición de fase?

kb56

El salto que observa se puede derivar agregando un término cúbico (entre otros) a la expresión de energía libre de Landau. La condición de continuidad surge de obligar a la expresión de Landau a permanecer como una función par. Tenía la esperanza de agregar esto como un comentario, pero parece que necesito una moneda falsa para eso.

yvan velenik

Sí, básicamente hay que asumir la existencia de una rama metaestable de la energía libre para "justificar" el procedimiento. Sin embargo, tenga en cuenta que esta suposición es simplemente incorrecta para los modelos de corto alcance (se puede, por ejemplo, probar rigurosamente que existe una singularidad esencial en el modelo de Ising, en cualquier dimensión, que impide la continuación analítica de la energía libre más allá del punto de transición). ).

usuario21090

No tengo ningún problema de la continuidad de la energía libre. lo que estoy confundiendo es la expansión en sí. Aunque la energía libre es continua, el "pequeño parámetro" que se usa no es pequeño.

Respuestas (1)

¿Por qué la teoría de Landau no falla cuando se trata de una transición de fase de primer orden?

El salto que observa se puede derivar agregando un término cúbico (entre otros) a la expresión de energía libre de Landau. La condición de continuidad surge de obligar a la expresión de Landau a permanecer como una función par. Tenía la esperanza de agregar esto como un comentario, pero parece que necesito una moneda falsa para eso.
Sí, básicamente hay que asumir la existencia de una rama metaestable de la energía libre para "justificar" el procedimiento. Sin embargo, tenga en cuenta que esta suposición es simplemente incorrecta para los modelos de corto alcance (se puede, por ejemplo, probar rigurosamente que existe una singularidad esencial en el modelo de Ising, en cualquier dimensión, que impide la continuación analítica de la energía libre más allá del punto de transición). ).
No tengo ningún problema de la continuidad de la energía libre. lo que estoy confundiendo es la expansión en sí. Aunque la energía libre es continua, el "pequeño parámetro" que se usa no es pequeño.

ruben verresen · Answer 1

La clave es: la teoría de Landau no asume que el parámetro de orden sea pequeño. Todo lo que asume es que la energía libre es analítica en el parámetro de orden. Luego, generalmente se expande esta energía libre hasta algún orden (que posiblemente sea por definición de 'analítico'). ¡Es clave darse cuenta de que expandir una función en una variable a algún orden no significa que esta variable tenga que ser pequeña ! Simplemente significa que los términos que descartamos tienen que ser pequeños, lo cual es otra cosa.

Tomemos un ejemplo. Supongamos que se nos entrega esta energía libre de aspecto un tanto inusual, que de hecho es analítica:

F (ϕ, T) = ϕ^{2} - 2 + {mi}^{- \frac{ϕ^{4}}{T}} + aporrear (ϕ^{3})

$\boxed{F(\phi,T) = \phi^2 - 2 + e^{-\frac{\phi^4}{T}} + \cosh(\phi^3)}$ Para temperaturas altas, se selecciona el mínimo de la energía libre

ϕ = 0

$\phi = 0$ . Alrededor

T \approx .3

$T \approx .3$ , hay una transición de primer orden a

ϕ \neq 0

$\phi \neq 0$ . Los siguientes dos gráficos dan una imagen intuitiva (el eje x es el parámetro de orden, el eje y la energía libre):

En la teoría de Landau, generalmente se expanden estas energías libres. Por ejemplo, si lo expandimos a octavo orden, obtenemos

F (ϕ, T) = ϕ^{2} - \frac{ϕ^{4}}{T} + \frac{ϕ^{6}}{2} + \frac{ϕ^{8}}{2 T^{2}}

$F(\phi,T) = \phi^2 - \frac{\phi^4}{T} + \frac{\phi^6}{2} + \frac{\phi^8}{2T^2}$ En este orden, la gráfica de

T = .25

$T = .25$ se ve de la siguiente manera:

Entonces vemos que esto ya da una buena representación de nuestra energía libre en la región. $-1 \leq \phi \leq 1$ . Esto se debe a que a pesar $\phi$ no siendo pequeños, los términos que hemos tirado lo son.

Tenga en cuenta que si uno no está interesado en los detalles cuantitativos sino que solo quiere la imagen intuitiva, entonces puede notar que $F(\phi,T) = \phi^2 - \frac{\phi^4}{T} + \frac{\phi^6}{2}$ ya muestra el mismo comportamiento cualitativo. Además de este orden es fácil de resolver exactamente y se obtiene $T_c = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx .7$ que no es una gran coincidencia cuantitativa con el más exacto $T_c = .3$ , pero la misma física está en juego.

¿Cómo debería poder saber que la transición representada en esta respuesta es una transición de fase de primer orden?
@jgerber El valor del parámetro de orden en función de la temperatura, $\phi(T)$ , se determina minimizando $F(\cdot,T)$ . Al mirar los gráficos, puede ver claramente que mientras $\phi(T) = 0$ por $T > T_c$ , salta discontinuamente a un valor finito a medida que cruzamos $T_c$ .
@jgerber Tenga en cuenta que mi comentario anterior fue una respuesta a su pregunta si está utilizando la definición de que una transición de primer orden tiene un salto en el parámetro de orden. Si, en cambio, está preguntando cómo ver que la energía libre tiene una torcedura a medida que cruzamos $T_c$ , tenga en cuenta que por debajo de la temperatura de transición, el valor de $F(T) = F(phi(T),T)$ está determinada por los mínimos locales de $F(\cdot,T)$ (el que se aleja del origen). En particular, la tasa de cambio del valor de este mínimo cuando ajustamos T es finita en $T=T_c$ . Por otro lado, por supuesto, $dF(T)/dT = 0$ por $T>T_c$ (como entonces $F(T) = 0$ ).
Tal vez me estoy perdiendo algo estúpido. Pero ¿por qué dices "a pesar de $\phi$ no siendo poco, los plazos que hemos tirado lo son". Me parece imprescindible que os intereséis por los $\phi <1$ región. Si estaría interesado en una gran $\phi$ región claramente su aproximación sería desechar toda la información. En su ejemplo no hay una estructura interesante en general. $\phi$ pero supongo que podría haberlo si restamos un término elegido apropiadamente (tal vez algo así como $\cosh(\phi^n)$ para algunos $n$ haciendo competir a dos exponenciales crecientes.

¿Por qué la teoría de Landau no falla cuando se trata de una transición de fase de primer orden?

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kb56

yvan velenik

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Jagerber48

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Kvothé

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